En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , el teorema de Mermin-Wagner (también conocido como teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg , teorema de Mermin-Wagner-Berezinskii o teorema de Coleman ) establece que las simetrías continuas no pueden romperse espontáneamente a temperatura finita en sistemas con suficiente interacciones de corto alcance en dimensiones d ≤ 2 . Intuitivamente, esto significa que se pueden crear fluctuaciones de largo alcance con poco costo de energía y, dado que aumentan la entropía, se ven favorecidas.
Esto se debe a que si ocurriera tal ruptura espontánea de simetría , entonces los bosones de Goldstone correspondientes , al no tener masa, tendrían una función de correlación divergente infrarroja .
La ausencia de ruptura espontánea de simetría en sistemas d ≤ bidimensionales fue probada rigurosamente por David Mermin Herbert Wagner (1966) y Pierre Hohenberg (1967) en mecánica estadística y por Sidney Coleman ( 1973 ) en teoría cuántica de campos. Que el teorema no se aplica a simetrías discretas se puede ver en el modelo de Ising bidimensional .
Introducción
Considere el campo escalar libre φ de masa m en dos dimensiones euclidianas. Su propagador es:
Para m pequeño , G es una solución a la ecuación de Laplace con una fuente puntual:
Esto se debe a que el propagador es el recíproco de ∇ 2 en k espacio. Para utilizar la ley de Gauss , defina el campo eléctrico analógico para ser E = ∇ G . La divergencia del campo eléctrico es cero. En dos dimensiones, utilizando un gran anillo gaussiano:
De modo que la función G tiene una divergencia logarítmica tanto en la pequeña como en la grande r .
La interpretación de la divergencia es que las fluctuaciones de campo no pueden permanecer centradas alrededor de una media. Si comienza en un punto donde el campo tiene el valor 1, la divergencia le dice que mientras viaja lejos, el campo está arbitrariamente lejos del valor inicial. Esto hace que un campo escalar sin masa bidimensional sea un poco difícil de definir matemáticamente. Si define el campo mediante una simulación de Monte-Carlo, no se queda quieto, se desliza a valores infinitamente grandes con el tiempo.
Esto también ocurre en una dimensión, cuando el campo es un campo escalar unidimensional, un paseo aleatorio en el tiempo. Un paseo aleatorio también se mueve arbitrariamente lejos de su punto de partida, por lo que un escalar unidimensional o bidimensional no tiene un valor promedio bien definido.
Si el campo es un ángulo, θ , como lo es en el modelo de sombrero mexicano donde el campo complejo A = Re iθ tiene un valor esperado pero es libre de deslizarse en la dirección θ , el ángulo θ será aleatorio a grandes distancias. Este es el teorema de Mermin-Wagner: no hay ruptura espontánea de una simetría continua en dos dimensiones.
Transición del modelo XY
Si bien el teorema de Mermin-Wagner evita cualquier ruptura espontánea de la simetría a escala global, se pueden permitir transiciones de ordenamiento del tipo Kosterlitz-Thouless . Este es el caso del modelo XY donde la simetría continua (interna) O (2) en una red espacial de dimensión d ≤ 2 , es decir, el valor esperado del campo (espín), permanece cero para cualquier temperatura finita ( las transiciones de fase cuántica permanecen inafectado). Sin embargo, el teorema no evita la existencia de una transición de fase en el sentido de una longitud de correlación divergente ξ . Para ello, el modelo tiene dos fases: una fase convencional desordenada a alta temperatura con un decaimiento exponencial dominante de la función de correlación. por , y una fase de baja temperatura con un orden de rango cuasi-largo donde G ( r ) decae de acuerdo con alguna ley de potencia para "suficientemente grande", pero una distancia finita r ( a ≪ r ≪ ξ con a el espaciado de celosía ).
Modelo de Heisenberg
Presentaremos una manera intuitiva [1] de entender el mecanismo que evita la ruptura de simetría en dimensiones bajas, a través de una aplicación al modelo de Heisenberg , que es un sistema de espines de n componentes S i de unidad de longitud | S i | = 1 , que se encuentra en los sitios de una d red cuadrada -dimensional, con el vecino más cercano de acoplamiento J . Su hamiltoniano es
El nombre de este modelo proviene de su simetría rotacional. Considere el comportamiento a baja temperatura de este sistema y suponga que existe una ruptura espontánea, es decir, una fase en la que todos los espines apuntan en la misma dirección, por ejemplo, a lo largo del eje x . Entonces, la simetría rotacional O ( n ) del sistema se rompe espontáneamente, o más bien se reduce a la simetría O ( n - 1) bajo rotaciones alrededor de esta dirección. Podemos parametrizar el campo en términos de fluctuaciones independientes σ α alrededor de esta dirección de la siguiente manera:
con | σ α | ≪ 1 , y Taylor expanden el hamiltoniano resultante. Tenemos
De dónde
Ignorando el término constante irrelevante H 0 = - JNd y pasando al límite del continuo, dado que estamos interesados en la fase de baja temperatura donde dominan las fluctuaciones de longitud de onda larga, obtenemos
Las fluctuaciones de campo σ α se denominan ondas de espín y pueden reconocerse como bosones de Goldstone. De hecho, son n -1 en número y tienen masa cero ya que no hay término de masa en el hamiltoniano.
Para encontrar si esta fase hipotética realmente existe, tenemos que verificar si nuestra suposición es autoconsistente, es decir, si el valor esperado de la magnetización , calculado en este marco, es finito como se asume. Para ello necesitamos calcular la corrección de primer orden a la magnetización debido a las fluctuaciones. Este es el procedimiento seguido en la derivación del conocido criterio de Ginzburg .
El modelo es gaussiano de primer orden, por lo que la función de correlación del espacio de momento es proporcional a k −2 . Por tanto, la función de correlación de dos puntos en el espacio real para cada uno de estos modos es
donde a es el espaciado de celosía. La magnetización promedio es
y la corrección de primer orden ahora se puede calcular fácilmente:
La integral anterior es proporcional a
por lo que es finito para d > 2 , pero parece ser logarítmicamente divergente para d ≤ 2 . Sin embargo, esto es realmente un artefacto de la aproximación lineal. En un tratamiento más cuidadoso, la magnetización promedio es cero.
Por tanto, concluimos que para d ≤ 2 nuestra suposición de que existe una fase de magnetización espontánea es incorrecta para todo T > 0 , porque las fluctuaciones son lo suficientemente fuertes como para destruir la ruptura espontánea de la simetría. Este es un resultado general:
- Teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg. No hay fase con ruptura espontánea de una simetría continua para T > 0 , en d ≤ 2 dimensiones.
El resultado también puede extenderse a otras geometrías, como las películas de Heisenberg con un número arbitrario de capas, así como a otros sistemas de celosía (modelo Hubbard, modelo sf). [2]
Generalizaciones
En realidad, se pueden probar resultados mucho más fuertes que la ausencia de magnetización, y el ajuste puede ser sustancialmente más general. En particular [ cita requerida ] :
- El hamiltoniano puede ser invariante bajo la acción de un compacto arbitraria, grupo de Lie conexo G .
- Se pueden permitir interacciones de largo alcance (siempre que decaigan lo suficientemente rápido; se conocen las condiciones necesarias y suficientes).
En este marco general, el teorema de Mermin-Wagner admite la siguiente forma fuerte (expresada aquí de manera informal):
- Todos (infinito-volumen) Gibbs estados asociados a este hamiltoniano son invariantes bajo la acción de G .
Cuando se descarta la suposición de que el grupo de Lie sea compacto, se cumple un resultado similar, pero con la conclusión de que los estados de Gibbs de volumen infinito no existen.
Finalmente, hay otras aplicaciones importantes de estas ideas y métodos, más notablemente a la prueba de que no puede haber estados de Gibbs invariantes sin traducción en sistemas bidimensionales. Un ejemplo típico sería la ausencia de estados cristalinos en un sistema de discos duros (con posibles interacciones atractivas adicionales).
Sin embargo, se ha demostrado que las interacciones de tipo duro pueden conducir en general a violaciones del teorema de Mermin-Wagner.
Historia
Ya en 1930, Felix Bloch argumentó al diagonalizar el determinante de Slater para los fermiones, que el magnetismo en 2D no debería existir. [3] Rudolf Peierls dio algunos argumentos sencillos, que se resumen a continuación, basándose en consideraciones entrópicas y enérgicas. [4] También Lev Landau hizo un trabajo sobre la ruptura de la simetría en dos dimensiones. [5]
Argumento enérgico
Una de las razones de la falta de ruptura de la simetría global es que se pueden excitar fácilmente fluctuaciones de longitud de onda largas que destruyen el orden perfecto. "Fácilmente excitado" significa que la energía para esas fluctuaciones tiende a cero para sistemas lo suficientemente grandes. Consideremos un modelo magnético (por ejemplo, el modelo XY en una dimensión). Es una cadena de momentos magnéticos de longitud.. Consideramos la aproximación armónica, donde las fuerzas (torque) entre momentos vecinos aumentan linealmente con el ángulo de torsión.. Esto implica que la energía debida a la torsión aumenta cuadráticamente. La energía total es la suma de todos los pares trenzados de momentos magnéticos.. Si se considera el modo excitado con la energía más baja en una dimensión (ver figura), entonces los momentos en la cadena de longitud están inclinados por a lo largo de la cadena. El ángulo relativo entre momentos vecinos es el mismo para todos los pares de momentos en este modo y es igual a, si la cadena consta de momentos magnéticos. De ello se deduce que la energía total de este modo más bajo es. Disminuye al aumentar el tamaño del sistema. y tiende a cero en el límite termodinámico , , . Para sistemas grandes arbitrarios se deduce que los modos más bajos no cuestan energía y serán excitados térmicamente. Simultáneamente, el pedido de largo alcance se destruye en la cadena. En dos dimensiones (o en un plano) el número de momentos magnéticos es proporcional al área del plano. La energía para el modo excitado más bajo es entonces, que tiende a una constante en el límite termodinámico. Por tanto, los modos se excitarán a temperaturas suficientemente elevadas. En tres dimensiones, el número de momentos magnéticos es proporcional al volumen y la energía del modo más bajo es . Diverge con el tamaño del sistema y, por lo tanto, no se excitará con sistemas suficientemente grandes. El orden de largo alcance no se ve afectado por este modo y se permite la ruptura de la simetría global.
Argumento entrópico
Un argumento entrópico contra el orden perfecto de largo alcance en cristales con es como sigue (ver figura): considere una cadena de átomos / partículas con una distancia promedio de partículas de . Fluctuaciones térmicas entre partículas y partícula conducirá a fluctuaciones de la distancia media de partículas del orden de , por lo que la distancia está dada por . Las fluctuaciones entre partículas y será del mismo tamaño: . Suponemos que las fluctuaciones térmicas son estadísticamente independientes (lo cual es evidente si consideramos solo la interacción del vecino más cercano) y las fluctuaciones entre y partícula (con el doble de distancia) debe sumarse estadísticamente independiente (o incoherente): . Para partículas N veces la distancia promedio, las fluctuaciones aumentarán con la raíz cuadrada.si las fluctuaciones vecinas se suman de forma independiente. Aunque la distancia mediaestá bien definido, las desviaciones de una cadena periódica perfecta aumentan con la raíz cuadrada del tamaño del sistema. En tres dimensiones, uno tiene que caminar a lo largo de tres direcciones linealmente independientes para cubrir todo el espacio; en un cristal cúbico, esto es efectivamente a lo largo de la diagonal del espacio, para obtener de la partícula a la partícula . Como se puede ver fácilmente en la figura, existen seis posibilidades diferentes para hacer esto. Esto implica que las fluctuaciones en las seis vías diferentes no pueden ser estadísticamente independientes, ya que pasan las mismas partículas en la posición y . Ahora bien, las fluctuaciones de las seis formas diferentes deben sumarse de manera coherente y serán del orden de- independiente del tamaño del cubo. Las fluctuaciones permanecen finitas y los sitios de celosía están bien definidos. Para el caso de dos dimensiones, Herbert Wagner y David Mermin han demostrado rigurosamente que las distancias de fluctuación aumentan logarítmicamente con el tamaño de los sistemas.. Esto se denomina frecuentemente divergencia logarítmica de desplazamientos.
Cristales en 2D
La imagen muestra un cristal (cuasi) bidimensional de partículas coloidales. Se trata de partículas de tamaño micrométrico dispersas en agua y sedimentadas en una interfaz plana, por lo que pueden realizar movimientos brownianos solo dentro de un plano. El orden cristalino séxtuple es fácil de detectar a escala local, ya que el aumento logarítmico de los desplazamientos es bastante lento. Las desviaciones del eje de celosía (rojo) también son fáciles de detectar, aquí se muestran como flechas verdes. Las desviaciones vienen dadas básicamente por las vibraciones de la celosía elástica (fonones acústicos). Una prueba experimental directa de las fluctuaciones de Mermin-Wagner-Hohenberg sería, si los desplazamientos aumentan de forma logarítmica con la distancia de un marco de coordenadas ajustado localmente (azul). Esta divergencia logarítmica va de la mano de un decaimiento algebraico (lento) de las correlaciones posicionales. El orden espacial de un cristal 2D se denomina rango cuasi largo (véase también una fase hexática para el comportamiento de fase de los conjuntos 2D).
Curiosamente, no se han encontrado firmas significativas de fluctuaciones de Mermin-Wagner-Hohenberg en cristales sino en sistemas amorfos desordenados [6] [7] [8]
Este trabajo no investigó los desplazamientos logarítmicos de los sitios de la red (que son difíciles de cuantificar para un tamaño de sistema finito), sino la magnitud del desplazamiento cuadrático medio de las partículas en función del tiempo. De esta forma, los desplazamientos no se analizan en el espacio sino en el dominio del tiempo. Los antecedentes teóricos están a cargo de D. Cassi, así como de F. Merkl y H. Wagner. [9] [10] Este trabajo analiza la probabilidad de recurrencia de los paseos aleatorios y la ruptura espontánea de la simetría en varias dimensiones. La probabilidad de recurrencia finita de una caminata aleatoria en una y dos dimensiones muestra un dualismo con la falta de un orden perfecto de largo alcance en una y dos dimensiones, mientras que la probabilidad de recurrencia de una caminata aleatoria en 3D es dual con la existencia de un orden perfecto de largo alcance y la posibilidad de que se rompa la simetría.
Limites
Los imanes reales no suelen tener una simetría continua, ya que el acoplamiento espín-órbita de los electrones impone una anisotropía. Para sistemas atómicos como el grafeno, se puede demostrar que se necesitan monocapas de tamaño cosmológico (o al menos continental) para medir un tamaño significativo de las amplitudes de las fluctuaciones. [11] Bertrand Halperin ofrece una discusión reciente sobre los teoremas de Mermin-Wagner-Hohenberg y sus limitaciones. [12]
Observaciones
La discrepancia entre el teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg (que descarta el orden de largo alcance en 2D) y las primeras simulaciones por computadora (Alder & Wainwright), que indicaban cristalización en 2D, una vez motivó a Michael Kosterlitz y David Thouless a trabajar en transiciones de fase topológica en 2D. . Este trabajo es galardonado con el premio Nobel de física 2016 (junto con Duncan Haldane).
Notas
- ^ ver Cardy (2002)
- ^ Véase Gelfert y Nolting (2001) .
- ↑ Bloch, F (1 de febrero de 1930). "Zur Theorie des Ferromagnetismus". Zeitschrift für Physik . 61 (3–4): 206–219. Código Bibliográfico : 1930ZPhy ... 61..206B . doi : 10.1007 / bf01339661 .
- ^ Peierls, RE (1934). "Bemerkungen über Umwandlungstemperaturen". Helv. Phys. Acta . 7 : 81. doi : 10.5169 / sellos-110415 .
- ^ Landau, LD "Teoría de las transformaciones de fase II". Phys. Z. Sowjetunion . 11 : 545.
- ^ Shiba, H .; Yamada, Y .; Kawasaki, T .; Kim, K. (2016). "Revelación de la dependencia dimensional de la dinámica vítrea: Eclipses de fluctuación infinita 2D Relajación estructural inherente". Cartas de revisión física . 117 (24): 245701. arXiv : 1510.02546 . Código bibliográfico : 2016PhRvL.117x5701S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.117.245701 . PMID 28009193 .
- ^ Vivek, S .; Kelleher, CP; Chaikin, PM; Weeks, ER (2017). "Fluctuaciones de longitud de onda larga y transición vítrea en dos y tres dimensiones" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1850–1855. arXiv : 1604.07338 . Código bibliográfico : 2017PNAS..114.1850V . doi : 10.1073 / pnas.1607226113 . PMC 5338427 . PMID 28137847 .
- ^ Illing, B .; Fritschi, S .; Kaiser, H .; Klix, CL; Maret, G .; Keim, P. (2017). "Fluctuaciones de Mermin-Wagner en sólidos amorfos 2D" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1856–1861. Código bibliográfico : 2017PNAS..114.1856I . doi : 10.1073 / pnas.1612964114 . PMC 5338416 . PMID 28137872 .
- ^ Cassi, D. (1992). "Transiciones de fase y paseos aleatorios en gráficos: una generalización del teorema de Mermin-Wagner a redes desordenadas, fractales y otras estructuras discretas". Cartas de revisión física . 68 (24): 3631–3634. Código Bibliográfico : 1992PhRvL..68.3631C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.68.3631 . PMID 10045753 .
- ^ Merkl, F .; Wagner, H. (1994). "Paseos aleatorios recurrentes y la ausencia de simetría continua rompiendo en los gráficos". Revista de física estadística . 75 (1): 153-165. Código Bibliográfico : 1994JSP .... 75..153M . doi : 10.1007 / bf02186284 .
- ^ Thompson-Flagg, RC; Moura, MJB; Marder, M. (2009). "Ondulación de grafeno". EPL . 85 (4): 46002. arXiv : 0807.2938 . Código Bibliográfico : 2009EL ..... 8546002T . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 85/46002 .
- ^ Halperin, BI (2019). "Sobre el teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner y sus limitaciones". Revista de física estadística . 175 (3–4): 521–529. arXiv : 1812.00220 . Código bibliográfico : 2019JSP ... 175..521H . doi : 10.1007 / s10955-018-2202-y .
Referencias
- Hohenberg, PC (1967), "Existencia de un orden de largo alcance en una y dos dimensiones", Phys. Rev. , 158 (2): 383, Bibcode : 1967PhRv..158..383H , doi : 10.1103 / PhysRev.158.383
- Mermin, ND; Wagner, H. (1966), "Ausencia de ferromagnetismo o antiferromagnetismo en modelos de Heisenberg isotrópicos unidimensionales o bidimensionales", Phys. Rev. Lett. , 17 (22): 1133–1136, Bibcode : 1966PhRvL..17.1133M , doi : 10.1103 / PhysRevLett.17.1133
- Coleman, Sidney (1973), "No hay bosones de Goldstone en dos dimensiones", Commun. Matemáticas. Phys. , 31 (4): 259–264, Bibcode : 1973CMaPh..31..259C , doi : 10.1007 / BF01646487
- Gelfert, Axel; Nolting, Wolfgang (2001), "La ausencia de transiciones de fase de temperatura finita en modelos de muchos cuerpos de baja dimensión: una encuesta y nuevos resultados", J. Phys .: Condens. Materia , 13 (27): R505 – R524, arXiv : cond-mat / 0106090 , Bibcode : 2001JPCM ... 13R.505G , doi : 10.1088 / 0953-8984 / 13/27/201
- Dobrushin, RL; Shlosman, SB (1975), "Ausencia de ruptura de simetría continua en modelos bidimensionales de física estadística" , Comm. Matemáticas. Phys. , 42 (1): 31, Bibcode : 1975CMaPh..42 ... 31D , doi : 10.1007 / bf01609432
- Pfister, C.-E. (1981), "Sobre la simetría de los estados de Gibbs en sistemas de celosía bidimensional" , Comm. Matemáticas. Phys. , 79 (2): 181, Bibcode : 1981CMaPh..79..181P , doi : 10.1007 / bf01942060
- Fröhlich, J .; Pfister, CE (1981), "Sobre la ausencia de ruptura espontánea de simetría y de ordenamiento cristalino en sistemas bidimensionales" , Comm. Matemáticas. Phys. , 81 (2): 277, Bibcode : 1981CMaPh..81..277F , doi : 10.1007 / bf01208901
- Klein, A .; Landau, LJ; Shucker, DS (1981), "Sobre la ausencia de ruptura espontánea de la simetría continua para estados de equilibrio en dos dimensiones", J. Statist. Phys. , 26 (3): 505, Bibcode : 1981JSP .... 26..505K , doi : 10.1007 / bf01011431
- Bonato, CA; Pérez, JF; Klein, A. (1982), "El fenómeno de Mermin-Wagner y las propiedades de los grupos de sistemas unidimensionales y bidimensionales", J. Statist. Phys. , 29 (2): 159, Bibcode : 1982JSP .... 29..159B , doi : 10.1007 / bf01020779
- Ioffe, D .; Shlosman, SB; Velenik, Y. (2002), "Modelos 2D de física estadística con simetría continua: el caso de interacciones singulares", Comm. Matemáticas. Phys. , 226 (2): 433, arXiv : math / 0110127 , Bibcode : 2002CMaPh.226..433I , doi : 10.1007 / s002200200627
- Cardy, John (2002), Escalado y renormalización en física estadística (Reimpreso (con corrección) ed.), [Cambridge]: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49959-0
- Richthammer, T. (2007), "Traslación-invariancia de procesos puntuales Gibbsianos bidimensionales", Commun. Matemáticas. Phys. , 274 (1): 81, arXiv : 0706.3637 , Bibcode : 2007CMaPh.274 ... 81R , doi : 10.1007 / s00220-007-0274-7
- Herbert Wagner (ed.). "Teorema de Mermin-Wagner" . Scholarpedia .
- Friedli, S .; Velenik, Y. (2017). Mecánica estadística de sistemas de celosía: una introducción matemática concreta . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.