Equilibrio estable de Mertens

La estabilidad de Mertens es un concepto de solución que se utiliza para predecir el resultado de un juego no cooperativo. Elon Kohlberg y Jean-François Mertens ^[1] propusieron una definición tentativa de estabilidad para juegos con números finitos de jugadores y estrategias. Más tarde, Mertens ^[2] propuso una definición más fuerte que fue elaborada más adelante por Srihari Govindan y Mertens. ^[3] Este concepto de solución ahora se llama estabilidad de Mertens, o simplemente estabilidad.

Al igual que otros refinamientos del equilibrio de Nash ^[4] utilizados en la teoría de juegos, la estabilidad selecciona subconjuntos del conjunto de equilibrios de Nash que tienen propiedades deseables. La estabilidad invoca criterios más estrictos que otros refinamientos y, por lo tanto, asegura que se satisfagan las propiedades más deseables.

Propiedades deseables de un refinamiento

Los refinamientos a menudo han estado motivados por argumentos a favor de la admisibilidad, la inducción hacia atrás y la inducción hacia adelante. En un juego de dos jugadores, una regla de decisión admisible para un jugador es aquella que no usa ninguna estrategia que esté débilmente dominada por otro (ver Dominio estratégico ). La inducción hacia atrás postula que la acción óptima de un jugador en cualquier caso anticipa que sus acciones posteriores y las de los demás son óptimas. El refinamiento llamado subjuego perfecto equilibrio implementa una versión débil de la inducción hacia atrás, y las versiones cada vez más fuertes son el equilibrio secuencial , perfecto equilibrio , el equilibrio cuasi-perfecta , y el equilibrio adecuado. La inducción hacia adelante postula que la acción óptima de un jugador en cualquier evento supone la optimalidad de las acciones pasadas de otros siempre que sea consistente con sus observaciones. La inducción hacia adelante ^[5] se satisface mediante un equilibrio secuencial para el cual la creencia de un jugador en un conjunto de información asigna probabilidad solo a las estrategias óptimas de otros que permiten alcanzar esa información.

Kohlberg y Mertens enfatizaron además que un concepto de solución debe satisfacer el principio de invariancia de que no depende de cuál de las muchas representaciones equivalentes de la situación estratégica se use como un juego de forma extensiva . Por lo tanto, debería depender solo del juego reducido de forma normal obtenido después de la eliminación de las estrategias puras que son redundantes porque sus ganancias para todos los jugadores se pueden replicar mediante una mezcla de otras estrategias puras. Mertens ^{[6] [7]} enfatizó también la importancia de los mundos pequeños El principio de que un concepto de solución debe depender únicamente de las propiedades ordinales de las preferencias de los jugadores, y no debe depender de si el juego incluye jugadores ajenos cuyas acciones no tienen ningún efecto sobre las estrategias factibles y las recompensas de los jugadores originales.

Kohlberg y Mertens demostraron mediante ejemplos que no todas estas propiedades se pueden obtener a partir de un concepto de solución que selecciona equilibrios de Nash únicos. Por lo tanto, propusieron que un concepto de solución debería seleccionar subconjuntos conectados cerrados del conjunto de equilibrios de Nash. ^[8]

Propiedades de los conjuntos estables

• Admisibilidad y perfección: cada equilibrio en un conjunto estable es perfecto y, por lo tanto, admisible.
• Inducción hacia atrás e inducción hacia adelante: un conjunto estable incluye un equilibrio adecuado de la forma normal del juego que induce un equilibrio cuasi-perfecto y, por lo tanto, secuencial en cada juego de forma extensiva con recuerdo perfecto que tiene la misma forma normal. Un subconjunto de un conjunto estable sobrevive a la eliminación iterativa de estrategias débilmente dominadas y estrategias que son respuestas inferiores en todos los equilibrios del conjunto.
• Invarianza y mundos pequeños: los conjuntos estables de un juego son las proyecciones de los conjuntos estables de cualquier juego más grande en el que esté incrustado, al tiempo que se conservan las estrategias y los beneficios viables de los jugadores originales. ^[9]
• Descomposición y división del jugador. Los conjuntos estables del producto de dos juegos independientes son el producto de sus conjuntos estables. Los conjuntos estables no se ven afectados por la división de un jugador en agentes de modo que ningún camino a través del árbol del juego incluya acciones de dos agentes.

Para juegos de dos jugadores con recuperación perfecta y recompensas genéricas, la estabilidad es equivalente a solo tres de estas propiedades: un conjunto estable usa solo estrategias no dominadas, incluye un equilibrio casi perfecto y es inmune a integrarse en un juego más grande. ^[10]

Definición de un conjunto estable

Un conjunto estable se define matemáticamente por la esencialidad del mapa de proyección de una vecindad conectada cerrada en el gráfico de los equilibrios de Nash sobre el espacio de juegos perturbados obtenidos al perturbar las estrategias de los jugadores hacia estrategias completamente mixtas. Esta definición requiere más que cualquier juego cercano que tenga un equilibrio cercano. La esencialidad requiere además que ninguna deformación de los mapas de proyección hacia el límite, lo que asegura que las perturbaciones del problema de punto fijo que define los equilibrios de Nash tengan soluciones cercanas. Aparentemente, esto es necesario para obtener todas las propiedades deseables enumeradas anteriormente.

Mertens proporcionó varias definiciones formales dependiendo del módulo de coeficientes utilizado para homología o cohomología .

Una definición formal requiere cierta notación. Para un juego dado${\displaystyle G}$ dejar ${\displaystyle \Sigma }$ser producto de los simples de los jugadores de estrategias mixtas. Para cada${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$, dejar ${\displaystyle P_{\delta }=\{\,\epsilon \tau \mid 0\leq \epsilon \leq \delta ,\tau \in \Sigma \,\}}$ y deja ${\displaystyle \partial P_{\delta }}$ser su límite topológico . Para${\displaystyle \eta \in P_{1}}$ dejar ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ser la probabilidad mínima de cualquier estrategia pura. Para cualquier${\displaystyle \eta \in P_{1}}$ definir el juego perturbado ${\displaystyle G(\eta )}$ como el juego donde la estrategia de cada jugador ${\displaystyle n}$ es lo mismo que en ${\displaystyle G}$, pero donde la recompensa de un perfil de estrategia ${\displaystyle \tau }$ es la recompensa en ${\displaystyle G}$ desde el perfil ${\displaystyle \sigma =(1-{\bar {\eta }})\tau +\eta }$. Dilo${\displaystyle \sigma }$ es un equilibrio perturbado de ${\displaystyle G(\eta )}$ Si ${\displaystyle \tau }$ es un equilibrio de ${\displaystyle G(\eta )}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ser el gráfico de la correspondencia de equilibrio perturbado sobre ${\displaystyle P_{1}}$, es decir, el gráfico ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ es el conjunto de esos pares ${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in P_{1}\times \Sigma }$ tal que ${\displaystyle \sigma }$ es un equilibrio perturbado de ${\displaystyle G(\eta )}$. Para${\displaystyle (\eta ,\sigma )\in {\mathcal {E}}}$, ${\displaystyle \tau (\eta ,\sigma )\equiv (\sigma -\eta )/(1-{\bar {\eta }})}$ es el equilibrio correspondiente de ${\displaystyle G(\eta )}$. Denotamos por${\displaystyle p}$ el mapa de proyección natural de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ para ${\displaystyle P_{1}}$. Para${\displaystyle E\subseteq {\mathcal {E}}}$, dejar ${\displaystyle E_{0}=\{\,(0,\sigma )\in E\,\}}$, y para ${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$ dejar ${\displaystyle (E_{\delta },\partial E_{\delta })=p^{-1}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\cap E}$. Por fin,${\displaystyle {\check {H}}}$se refiere a la cohomología Čech con coeficientes enteros.

La siguiente es una versión de la más inclusiva de las definiciones de Mertens, llamada * -stabilidad.

Definición de un conjunto estable * :${\displaystyle S\subseteq \Sigma }$ es un conjunto * -stable si para algún subconjunto cerrado ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ con ${\displaystyle E_{0}=\{\,0\,\}\times S}$ tiene las siguientes dos propiedades:

• Conectividad : para todos los barrios${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle E_{0}}$ en ${\displaystyle E}$, el conjunto ${\displaystyle V\setminus \partial E_{1}}$tiene un componente conectado cuyo cierre es una vecindad de${\displaystyle E_{0}}$ en ${\displaystyle E}$.
• Esencialidad cohomológica :${\displaystyle p^{*}:{\check {H}}^{*}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\to {\check {H}}^{*}(E_{\delta },\partial E_{\delta })}$ es distinto de cero para algunos ${\displaystyle \delta >0}$.

Si la esencialidad en cohomología u homología se relaja a homotopía , entonces se obtiene una definición más débil, que difiere principalmente en una forma más débil de la propiedad de descomposición. ^[11]

Referencias

1. Kohlberg, Elon y Jean-François Mertens (1986). "Sobre la estabilidad estratégica de los equilibrios" (PDF) . Econometrica . 54 (5): 1003–1037. CiteSeerX  10.1.1.295.4592 . doi : 10.2307 / 1912320 . JSTOR  1912320 .
2. Mertens, Jean-François, 1989 y 1991. "Equilibrios estables: una reforma", Matemáticas de la investigación de operaciones, 14: 575-625 y 16: 694-753. [1]
3. Govindan, Srihari y Jean-François Mertens, 2004. "Una definición equivalente de equilibrios estables", International Journal of Game Theory, 32 (3): 339-357. [2] [3]
4. Govindan, Srihari y Robert Wilson, 2008. "Refinamientos del equilibrio de Nash", The New Palgrave Dictionary of Economics, segunda edición. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de junio de 2010 . Consultado el 12 de febrero de 2012 .
5. Govindan, Srihari y Robert Wilson, 2009. "Sobre la inducción hacia adelante", Econometrica, 77 (1): 1-28. [4] [5]
6. Mertens, Jean-François, 2003. "Ordinalidad en juegos no cooperativos", International Journal of Game Theory, 32: 387–430. [6]
7. Mertens, Jean-François, 1992. "El axioma de los mundos pequeños para los equilibrios estables", Juegos y comportamiento económico, 4: 553-564. [7]
8. El requisito de que el conjunto esté conectado excluye el refinamiento trivial que selecciona todos los equilibrios. Si solo se selecciona un subconjunto único (posiblemente no conectado), entonces solo el refinamiento trivial satisface las condiciones invocadas por H. Norde, J. Potters, H. Reijnierse y D. Vermeulen (1996): `` Equilibrium Selection and Consistency, Games and Comportamiento económico, 12: 219-225.
9. Véase el apéndice D de Govindan, Srihari y Robert Wilson, 2012. "Teoría axiomática de la selección del equilibrio para juegos genéricos de dos jugadores", Econometrica, 70. [8]
10. Govindan, Srihari y Robert Wilson, 2012. "Teoría axiomática de la selección del equilibrio para juegos genéricos de dos jugadores", Econometrica, 70. [9]
11. Srihari Govindan y Robert Wilson, 2008. "Equilibrios metaestables", Matemáticas de la investigación de operaciones, 33: 787-820.