En matemáticas numéricas, el método sin malla regularizado (RMM) , también conocido como método sin malla singular o método sin malla desingularizado , es un método de colocación de límites sin malla diseñado para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales cuya solución fundamental se conoce explícitamente. El RMM es un método de colocación de forma sólida con ventajas como sin malla, sin integración, fácil de implementar y con alta estabilidad. Hasta ahora, este método se ha aplicado con éxito a algunos problemas típicos, como el potencial, la acústica, las ondas de agua y los problemas inversos de dominios acotados y no acotados.
Descripción
El RMM emplea los potenciales de doble capa de la teoría del potencial como su base / funciones del núcleo. Al igual que el método de soluciones fundamentales (MFS), [1] [2] la solución numérica se aproxima mediante una combinación lineal de funciones del núcleo de doble capa con respecto a diferentes puntos de origen. Sin embargo, a diferencia del MFS, los puntos de colocación y de origen del RMM coinciden y se colocan en el límite físico sin la necesidad de un límite ficticio en el MFS. Por lo tanto, el RMM supera el principal cuello de botella en las aplicaciones MFS a los problemas del mundo real.
Tras la coincidencia de los puntos de colocación y de origen, las funciones del núcleo de doble capa presentarán varios órdenes de singularidad. Así, se introduce una técnica de regularización de resta y suma [3] y, por lo tanto, elimina o cancela dichas singularidades.
Historia y desarrollo reciente
En la actualidad, el método de elementos finitos (FEM), el método de diferencias finitas (FDM), el método de volumen finito (FVM) y el método de elementos de contorno (BEM) son técnicas numéricas dominantes en los modelos numéricos de muchos campos de la ingeniería y las ciencias. La generación de mallas es un problema tedioso e incluso muy desafiante en su solución de problemas de límites de formas complejas o de movimiento de alta dimensión y es computacionalmente costoso y, a menudo, matemáticamente problemático.
Durante mucho tiempo se ha afirmado que el BEM mitiga estos inconvenientes gracias a las discretizaciones de solo límites y su naturaleza semi-analítica. A pesar de estos méritos, el BEM, sin embargo, involucra matemáticas bastante sofisticadas y algunas integrales singulares complicadas. Además, el mallado de superficies en un dominio tridimensional sigue siendo una tarea no trivial. Durante las últimas décadas, se han dedicado esfuerzos considerables para aliviar o eliminar estas dificultades, lo que ha llevado al desarrollo de métodos de colocación de límites sin malla / sin malla que no requieren ni el dominio ni la malla de límites. Entre estos métodos, el MFS es el más popular con el mérito de su fácil programación, simplicidad matemática, alta precisión y rápida convergencia.
En el MFS, se requiere un límite ficticio fuera del dominio del problema para evitar la singularidad de la solución fundamental. Sin embargo, determinar la ubicación óptima del límite ficticio es una tarea no trivial que debe estudiarse. Desde entonces, se han realizado esfuerzos espectaculares para eliminar este problema tan desconcertante. Los avances recientes incluyen, por ejemplo, el método de nudo límite (BKM), [4] [5] método sin malla regularizado (RMM), [3] MFS modificado (MMFS), [6] y el método de límite singular (SBM) [7]
La metodología de la RMM fue propuesta por primera vez por Young y sus colaboradores en 2005. La idea clave es introducir una técnica de regularización de resta y suma para eliminar la singularidad de la función del kernel de doble capa en el origen, de modo que los puntos fuente puedan colocarse directamente en el límite real. Hasta ahora, el RMM se ha aplicado con éxito a una variedad de problemas físicos, como potencial, [3] acústica exterior [8] antiplano eléctrico piezoeléctrico, [9] problema propio acústico con dominio de múltiples conexiones, [10] problema inverso , [11] ecuación de posición [12] y problemas de olas de agua. [13] Además, se han realizado algunas formulaciones mejoradas con el objetivo de mejorar aún más la viabilidad y eficiencia de este método, ver, por ejemplo, la RMM ponderada para problemas de dominio irregular [14] y RMM analítica para problemas de Laplace 2D. [15]
Ver también
Referencias
- ^ AKG Fairweather, El método de soluciones fundamentales para problemas de valor de frontera elíptica, Avances en matemáticas computacionales . 9 (1998) 69–95.
- ^ MA Golberg, CS Chen, La teoría de las funciones de base radial aplicada al BEM para ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas, Comunicaciones de elementos de frontera . 5 (1994) 57–61.
- ^ a b c D.L. Young, KH Chen, CW Lee. Nuevo método sin malla para resolver los problemas potenciales con dominios arbitrarios. Revista de Física Computacional 2005; 209 (1): 290–321.
- ^ W. Chen y M. Tanaka, " Una técnica de RBF sin malla, convergencia exponencial, sin integración y sin límites. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine ", Computers and Mathematics with Applications , 43, 379–391, 2002.
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- ^ B. Sarler, "Solución de problemas de flujo potenciales mediante el método modificado de soluciones fundamentales: formulaciones con soluciones fundamentales de una sola capa y de doble capa", Eng Anal Bound Elem 2009; 33 (12): 1374–82.
- ^ W. Chen, FZ Wang, " Un método de soluciones fundamentales sin límite ficticio Archivado el 6 de junio de 2015 en la Wayback Machine ", Eng Anal Bound Elem 2010; 34 (5): 530–32.
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- ^ KH Chen, JT Chen, JH Kao. Método regularizado sin malla para resolver problemas propios acústicos con dominio de múltiples conexiones. Modelado informático en ingeniería y ciencias 2006; 16 (1): 27–39.
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- ^ W. Chen, J. Lin, FZ Wang, " Método sin malla regularizado para problemas no homogéneos Archivado el 6 de junio de 2015 en la Wayback Machine ", Ing. Anal. Atado. Elem. 35 (2011) 253–257.
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