En análisis matemático , un diferencial métrico es una generalización de una derivada para una función continua de Lipschitz definida en un espacio euclidiano y que toma valores en un espacio métrico arbitrario . Con esta definición de derivada, se puede generalizar el teorema de Rademacher a funciones métricas de Lipschitz con valores espaciales.
El teorema de Rademacher establece que un mapa de Lipschitz f : R n → R m es diferenciable casi en todas partes en R n ; en otras palabras, para casi todo x , f es aproximadamente lineal en cualquier rango suficientemente pequeño de x . Si f es una función de un espacio euclidiano R n que toma valores en su lugar en un espacio métrico X , no tiene sentido inmediatamente hablar de diferenciabilidad ya que X no tiene una estructura lineal a priori. Incluso si asumes que Xes un espacio de Banach y pregunto si existe un derivado de Fréchet en casi todas partes, esto no se sostiene. Por ejemplo, considere la función f : [0,1] → L 1 ([0,1]), mapeando el intervalo unitario en el espacio de funciones integrables , definido por f ( x ) = χ [0, x ] , este La función es Lipschitz (y de hecho, una isometría ) ya que, si 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, entonces
pero se puede verificar que lim h → 0 ( f ( x + h ) - f ( x )) / h no converge a una función L 1 para cualquier x en [0,1], por lo que no es diferenciable en ninguna parte.
Sin embargo, si observa el teorema de Rademacher como una afirmación sobre cómo se estabiliza una función de Lipschitz a medida que hace zoom en casi todos los puntos, entonces tal teorema existe, pero se establece en términos de las propiedades métricas de f en lugar de sus propiedades lineales.
Un sustituto de una derivada de f : R n → X es el diferencial métrico de f en un punto z en R n que es una función de R n definida por el límite
Un teorema de Bernd Kirchheim [1] establece que un teorema de Rademacher en términos de diferenciales métricos es válido: para casi todo z en R n , MD ( f , z ) es una seminorma y