En matemáticas , una superficie mínima de revolución o superficie mínima de revolución es una superficie de revolución definida a partir de dos puntos en un semiplano , cuyo límite es el eje de revolución de la superficie. Se genera mediante una curva que se encuentra en el semiplano y conecta los dos puntos; entre todas las superficies que se pueden generar de esta forma, es la que minimiza la superficie . [1] Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar la curva entre dos puntos que produce esta superficie mínima de revolución. [1]
Relación con superficies mínimas
Una superficie mínima de revolución es un subtipo de superficie mínima . [1] Una superficie mínima se define no como una superficie de área mínima, sino como una superficie con una curvatura media de 0. [2] Dado que una curvatura media de 0 es una condición necesaria de una superficie de área mínima, todas las superficies mínimas de revolución son superficies mínimas, pero no todas las superficies mínimas son superficies mínimas de revolución. Como un punto forma un círculo cuando se gira alrededor de un eje , encontrar la superficie mínima de revolución es equivalente a encontrar la superficie mínima que pasa a través de dos estructuras de alambre circulares . [1] Una realización física de una superficie mínima de revolución es una película de jabón estirada entre dos alambres circulares paralelos : la película de jabón toma naturalmente la forma con la menor superficie. [3] [4]
Solución catenoide
Si el semiplano que contiene los dos puntos y el eje de revolución tiene coordenadas cartesianas , convirtiendo el eje de revolución en el eje x del sistema de coordenadas, entonces la curva que conecta los puntos puede interpretarse como la gráfica de una función . Si las coordenadas cartesianas de los dos puntos dados son, , entonces el área de la superficie generada por una función diferenciable no negativa puede expresarse matemáticamente como
y el problema de encontrar la superficie mínima de revolución se convierte en uno de encontrar la función que minimiza esta integral, sujeto a las condiciones de frontera que y . [5] En este caso, la curva óptima será necesariamente una catenaria . [1] [5] El eje de revolución es la directriz de la catenaria, por lo que la superficie mínima de revolución será una catenoide . [1] [6] [7]
Solución Goldschmidt
También se pueden definir soluciones basadas en funciones discontinuas. En particular, para algunas ubicaciones de los dos puntos, la solución óptima se genera mediante una función discontinua que es distinta de cero en los dos puntos y cero en el resto. Esta función conduce a una superficie de revolución que consta de dos discos circulares, uno para cada punto, conectados por un segmento de línea degenerado a lo largo del eje de revolución. Esto se conoce como una solución de Goldschmidt [5] [8] después del matemático alemán Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt , [4] quien anunció su descubrimiento en su artículo de 1831 "Determinatio superficiei minimae rotae curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae" ( "Determinación de la curva superficie-rotación mínima dados dos puntos unidos alrededor de un eje de origen dado"). [9]
Para continuar con la analogía física de la película de jabón dada anteriormente, estas soluciones de Goldschmidt se pueden visualizar como casos en los que la película de jabón se rompe a medida que los alambres circulares se estiran. [4] Sin embargo, en una película de jabón física, el segmento de la línea de conexión no estaría presente. Además, si una película de jabón se estira de esta manera, existe un rango de distancias dentro de las cuales la solución de catenoide todavía es factible pero tiene un área mayor que la solución de Goldschmidt, por lo que la película de jabón puede estirarse en una configuración en la que el área es una mínimo local pero no mínimo global. Para distancias mayores que este rango, la catenaria que define el catenoide cruza el eje x y conduce a una superficie que se interseca automáticamente, por lo que solo la solución de Goldschmidt es factible. [10]
Referencias
- ^ a b c d e f Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de revolución" . Mathworld . Wolfram Research . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Superficie mínima" . Mathworld . Wolfram Research . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ Olver, Peter J. (2012). "Capítulo 21: El cálculo de variaciones". Notas de la clase de matemáticas aplicadas (PDF) . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ a b c Nahin, Paul J. (2011). Cuando menos es mejor: cómo los matemáticos descubrieron muchas formas inteligentes de hacer las cosas tan pequeñas (o tan grandes) como sea posible . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 265–6.
Entonces, ¿qué pasa con la película de jabón después de que se rompe [...]? Este comportamiento discontinuo se denomina solución de Goldschmidt , en honor al matemático alemán CWB Goldschmidt (1807-51) que lo descubrió (en papel) en 1831.
- ^ a b c Sagan, Hans (1992), "2.6 El problema de las superficies mínimas de revolución", Introducción al cálculo de variaciones , Publicaciones de Courier Dover, págs. 62–66, ISBN 9780486673660
- ^ Colding, Tobias Holck ; Minicozzi II, William P. (2011). "Capítulo 1: El comienzo de la teoría". Un curso en superficies mínimas (PDF) . Estudios de Posgrado en Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ Meeks III, William H .; Pérez, Joaquín (2012). "Capítulo 2.5: Algunos ejemplos interesantes de superficies mínimas completas". Una encuesta sobre la teoría clásica de superficies mínimas (PDF) . Serie de Conferencias Universitarias. 60 . Sociedad Matemática Estadounidense . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Solución Goldschmidt" . Mathworld . Wolfram Research . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
- ^ "Información bibliográfica: Determinatio superficiei minimae rotae curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae" . Libros de Google . Consultado el 27 de agosto de 2012 .
- ^ Isenberg, Cyril (1992), La ciencia de las películas de jabón y las burbujas de jabón , Publicaciones Courier Dover, p. 165, ISBN 9780486269603.