Atado de Minkowski

Limita los ideales que se deben verificar para determinar el número de clase de un campo numérico

En la teoría de números algebraica , Minkowski de cota da un límite superior de la norma de los ideales de comprobación con el fin de determinar el número de clase de un campo de número de K . Lleva el nombre del matemático Hermann Minkowski .

Definición

Sea D el discriminante del campo, n el grado de K sobre y el número de incrustaciones complejas donde es el número de incrustaciones reales . Entonces, cada clase en el grupo de clases ideal de K contiene un ideal integral de norma que no excede el límite de Minkowski${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .}$

Constante de Minkowski para el campo K es esta cota M _K . ^[1]

Propiedades

Dado que el número de los ideales integrales de norma dada es finito, la finitud del número de clase es una consecuencia inmediata, ^[1] y, además, el grupo ideal de la clase se genera por los ideales primos de norma en la mayoría de M _K .

El límite de Minkowski puede usarse para derivar un límite inferior para el discriminante de un campo K dado n , r ₁ y r ₂ . Dado que un ideal integral tiene norma al menos una, tenemos 1 ≤ M _K , de modo que

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

Para n al menos 2, es fácil demostrar que el límite inferior es mayor que 1, por lo que obtenemos el Teorema de Minkowski , que el discriminante de cada campo numérico, distinto de Q , no es trivial. Esto implica que el campo de los números racionales no tiene una extensión sin ramificar .

Prueba

El resultado es una consecuencia del teorema de Minkowski .

Referencias

1. Pohst y Zassenhaus (1989) p.384

• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Matemáticas. Sci. 62 (2ª edición de la 1ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044 .
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . 110 (segunda ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94225-4. Zbl  0811.11001 .
• Pohst, M .; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algorítmica de números algebraicos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. 30 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33060-2. Zbl  0685.12001 .

enlaces externos

• "Uso de la constante de Minkowski para encontrar un número de clase" . PlanetMath .
• Stevenhagen, Peter. Anillos de números .
• The Minkowski Bound en el seminario de blogs secretos