Norma ideal

En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de la norma de un elemento en la extensión del campo . Es particularmente importante en la teoría de números, ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo numérico complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando se considera que el anillo numérico menos complicado es el anillo de números enteros , Z , entonces la norma de un ideal I distinto de cero de un anillo numérico R es simplemente el tamaño del anillo de cociente finito R / I.

Norma relativa

Deje que A sea un dominio Dedekind con cuerpo de fracciones K y cierre integral de B en un finito extensión separable L de K . (esto implica que B es también un dominio de Dedekind). Sean y los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios distintos de cero ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , el mapa de normas${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

es el homomorfismo de grupo único que satisface

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

para todos los ideales primos distintos de cero de B , donde está el ideal primo de A que se encuentra debajo .${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Alternativamente, para cualquier uno puede equivalentemente definir ser el ideales fraccional de A generado por el conjunto de normas de campo de elementos de B . ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$

Porque , uno tiene , donde .${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$${\displaystyle n=[L:K]}$

Por tanto, la norma ideal de un ideal principal es compatible con la norma de campo de un elemento:

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$^[2]

Sea una extensión de Galois de campos numéricos con anillos de números enteros .${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

Entonces lo anterior se aplica con , y para cualquiera que tengamos${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

que es un elemento de .${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$

La notación a veces se abrevia a , un abuso de notación que es compatible con la escritura también para la norma de campo, como se señaló anteriormente.${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$${\displaystyle N_{L/K}}$${\displaystyle N_{L/K}}$

En el caso , es razonable utilizar positivos números racionales como el rango de desde tiene trivial grupo ideal de la clase y grupo de unidades , por lo tanto cada uno distinto de cero ideales fraccional de es generado por un positivo determinado unívocamente número racional . Bajo esta convención, la norma relativa de abajo a coincide con la norma absoluta definida a continuación.${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle L}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Norma absoluta

Sea un campo numérico con un anillo de números enteros y un ideal distinto de cero (integral) de .${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma absoluta de es${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Por convención, la norma del ideal cero se toma como cero.

Si es un ideal principal , entonces${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$. ^[3]

La norma es completamente multiplicativa : si y son ideales de , entonces${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$. ^[3]

Así, la norma absoluta se extiende únicamente a un homomorfismo de grupo.

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

definida para todos distintos de cero ideales fraccionarios de .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma de un ideal se puede utilizar para dar un límite superior en la norma de campo del elemento distinto de cero más pequeño que contiene:${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

siempre existe un distinto de cero para el cual${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$es el discriminante de y${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle s}$es el número de pares de incrustaciones complejas (no reales) de L en (el número de lugares complejos de L ). ^[4]${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ver también

• Norma de campo
• Función zeta de Dedekind

Referencias

1. Janusz, Gerald J. (1996), Campos numéricos algebraicos , Estudios de posgrado en matemáticas , 7 (segunda ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, Proposición I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, MR  1362545
2. Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, 67 , traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York: Springer-Verlag, 1.5, Proposición 14, ISBN 0-387-90424-7, MR  0554237
3. Marcus, Daniel A. (1977), Campos numéricos , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema 22c, ISBN 0-387-90279-1, MR  0457396
4. Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Berlín: Springer-Verlag, Lemma 6.2, doi : 10.1007 / 978-3-662-03983-0 , ISBN 3-540-65399-6, MR  1697859