La función de Möbius μ ( n ) es una función multiplicativa importante en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transcrito como Moebius ) en 1832. [i] [ii] [2] Es omnipresente en la teoría de números elemental y analítica y aparece más a menudo como parte de su homónimo, la fórmula de inversión de Möbius . Siguiendo el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, las generalizaciones de la función de Möbius se introdujeron en la combinatoria y se denotan de manera similar μ ( x ).
Para cualquier entero positivo n , defina μ ( n ) como la suma de las raíces enésimas primitivas de la unidad . Tiene valores en {−1, 0, 1} dependiendo de la factorización de n en factores primos :
donde δ es el delta de Kronecker , λ ( n ) es la función de Liouville , ω ( n ) es el número de divisores primos distintos de n , y Ω( n ) es el número de factores primos de n , contados con multiplicidad.
La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si s es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos
Gauss [1] demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con μ ( p − 1) (mod p ) .
Si F q denota el campo finito de orden q (donde q es necesariamente una potencia prima), entonces el número N de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre F q viene dado por: [3]