El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en tales estructuras. En consecuencia, el estructuralismo sostiene que los objetos matemáticos no poseen ninguna propiedad intrínseca sino que están definidos por sus relaciones externas en un sistema. Por ejemplo, el estructuralismo sostiene que el número 1 se define exhaustivamente por ser el sucesor del 0 en la estructura de la teoría de los números naturales . Por generalización de este ejemplo, cualquier número natural se define por su lugar respectivo en esta estructura de la recta numérica. Otros ejemplos de objetos matemáticos pueden incluir líneas y planos en geometría , o elementos y operaciones en álgebra abstracta .
El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo . Sin embargo, su afirmación central solo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticas (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente de la de las estructuras en las que están incrustados; diferentes subvariedades de estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto. [1]
El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas se asocia particularmente con Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro y James Franklin .
La motivación histórica para el desarrollo del estructuralismo deriva de un problema fundamental de ontología . Desde la época medieval , los filósofos han discutido si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que: (1) existe independientemente de la mente; (2) existe independientemente del mundo empírico; y (3) tiene propiedades eternas e inmutables. El platonismo matemático tradicional sostiene que algún conjunto de elementos matemáticos : números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas–son tales objetos abstractos. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.
A fines del siglo XIX y principios del XX, varios programas antiplatónicos ganaron popularidad. Estos incluían el intuicionismo , el formalismo y el predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas tenían varios problemas propios. Esto resultó posteriormente en un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico que se desarrollaron las motivaciones del estructuralismo. En 1965, Paul Benacerraf publicó un artículo de cambio de paradigma titulado "Qué números no podrían ser". [2] Benacerraf concluyó, sobre la base de dos argumentos principales, que el platonismo de la teoría de conjuntos no puede tener éxito como teoría filosófica de las matemáticas.
En primer lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba ontológica. [2] Desarrolló un argumento contra la ontología del platonismo de la teoría de conjuntos, que ahora se conoce históricamente como el problema de identificación de Benacerraf . Benacerraf señaló que existen formas teóricas de conjuntos elementalmente equivalentes de relacionar números naturales con conjuntos puros . Sin embargo, si alguien pregunta por los enunciados de identidad "verdaderos" para relacionar números naturales con conjuntos puros, entonces diferentes métodos de teoría de conjuntos producen enunciados de identidad contradictorios cuando estos conjuntos elementalmente equivalentes se relacionan entre sí. [2] Esto genera una falsedad teórica de conjuntos. En consecuencia, Benacerraf infirió que esta falsedad de la teoría de conjuntos demuestra que es imposible que exista un método platónico de reducción de números a conjuntos que revele objetos abstractos.