En los campos de la óptica no lineal y la dinámica de fluidos , la inestabilidad modulacional o inestabilidad de la banda lateral es un fenómeno por el cual las desviaciones de una forma de onda periódica se ven reforzadas por la no linealidad, lo que lleva a la generación de bandas laterales espectrales y la eventual ruptura de la forma de onda en un tren de pulsos . [1] [2] [3]
Se cree ampliamente que el fenómeno fue descubierto por primera vez, y modelado, para ondas de gravedad superficiales periódicas ( ondas de Stokes ) en aguas profundas por T. Brooke Benjamin y Jim E. Feir, en 1967. [4] Por lo tanto, también se conoce como la inestabilidad de Benjamin-Feir . Sin embargo, la inestabilidad de la modulación espacial de los láseres de alta potencia en disolventes orgánicos fue observada por los científicos rusos NF Piliptetskii y AR Rustamov en 1965, [5] y la derivación matemática de la inestabilidad de la modulación fue publicada por VI Bespalov y VI Talanov en 1966. [6] La inestabilidad de la modulación es un posible mecanismo para la generación de ondas rebeldes . [7][8]
Inestabilidad y ganancia iniciales
La inestabilidad de la modulación solo ocurre en determinadas circunstancias. La condición más importante es la dispersión de la velocidad de grupo anómala , por la cual los pulsos con longitudes de onda más cortas viajan con una velocidad de grupo más alta que los pulsos con una longitud de onda más larga. [3] (Esta condición supone una no linealidad de Kerr de enfoque , por lo que el índice de refracción aumenta con la intensidad óptica). [3]
La inestabilidad depende en gran medida de la frecuencia de la perturbación. En ciertas frecuencias, una perturbación tendrá poco efecto, mientras que en otras frecuencias, una perturbación crecerá exponencialmente . El espectro de ganancia general se puede derivar analíticamente , como se muestra a continuación. Las perturbaciones aleatorias generalmente contendrán una amplia gama de componentes de frecuencia y, por lo tanto, provocarán la generación de bandas laterales espectrales que reflejan el espectro de ganancia subyacente.
La tendencia de una señal perturbadora a crecer hace que la inestabilidad de la modulación sea una forma de amplificación . Al sintonizar una señal de entrada a un pico del espectro de ganancia, es posible crear un amplificador óptico .
Derivación matemática del espectro de ganancia
El espectro de ganancia se puede derivar [3] comenzando con un modelo de inestabilidad de modulación basado en la ecuación no lineal de Schrödinger.
que describe la evolución de una envolvente de variación lenta de valores complejos con tiempo y distancia de propagación . La unidad imaginaria satisface El modelo incluye la dispersión de velocidad de grupo descrita por el parámetroy la no linealidad de Kerr con magnitudUna forma de onda periódica de potencia constantese supone. Esto viene dado por la solución
donde el oscilatorio El factor de fase explica la diferencia entre el índice de refracción lineal y el índice de refracción modificado , según aumenta el efecto Kerr. El comienzo de la inestabilidad se puede investigar perturbando esta solución como
dónde es el término de perturbación (que, por conveniencia matemática, se ha multiplicado por el mismo factor de fase que ). Sustituyendo esto nuevamente en la ecuación de Schrödinger no lineal se obtiene una ecuación de perturbación de la forma
donde se ha asumido que la perturbación es pequeña, de modo que El complejo conjugado de se denota como La inestabilidad ahora se puede descubrir buscando soluciones de la ecuación de perturbación que crecen exponencialmente. Esto se puede hacer usando una función de prueba de la forma general
dónde y son el número de onda y la frecuencia angular (en valor real) de una perturbación, y y son constantes. La ecuación de Schrödinger no lineal se construye eliminando la onda portadora de la luz que se modela, por lo que la frecuencia de la luz que se perturba es formalmente cero. Por lo tanto, y no representan frecuencias absolutas y números de onda, sino la diferencia entre estos y los del haz de luz inicial. Se puede demostrar que la función de prueba es válida, siempre que y sujeto a la condición
Esta relación de dispersión es vitalmente dependiente del signo del término dentro de la raíz cuadrada, ya que si es positivo, el número de onda será real , correspondiente a meras oscilaciones alrededor de la solución no perturbada, mientras que si es negativo, el número de onda se volverá imaginario , correspondiente al crecimiento exponencial. y por tanto inestabilidad. Por lo tanto, se producirá inestabilidad cuando
- eso es para
Esta condición describe el requisito de dispersión anómala (tal que es negativo). El espectro de ganancia se puede describir definiendo un parámetro de ganancia como de modo que el poder de una señal perturbadora crece con la distancia a medida que Por tanto, la ganancia viene dada por
donde, como se señaló anteriormente, es la diferencia entre la frecuencia de la perturbación y la frecuencia de la luz inicial. La tasa de crecimiento es máxima para
Inestabilidad de modulación en sistemas blandos
Se ha observado inestabilidad de modulación de campos ópticos en sistemas fotoquímicos, a saber, medio fotopolimerizable. [9] [10] [11] [12] La inestabilidad de la modulación ocurre debido a la no linealidad óptica inherente de los sistemas debido a los cambios inducidos por la fotorreacción en el índice de refracción. [13] La inestabilidad de modulación de la luz incoherente espacial y temporalmente es posible debido a la respuesta no instantánea de los sistemas fotorreactivos, que en consecuencia responde a la intensidad media de la luz en el tiempo, en la que las fluctuaciones de femto-segundo se cancelan. [14]
Referencias
- ^ Benjamín, T. Brooke ; Feir, JE (1967). "La desintegración de los trenes de olas en aguas profundas. Parte 1. Teoría". Revista de Mecánica de Fluidos . 27 (3): 417–430. Código bibliográfico : 1967JFM .... 27..417B . doi : 10.1017 / S002211206700045X .
- ^ Benjamin, TB (1967). "Inestabilidad de trenes de ondas periódicas en sistemas dispersivos no lineales". Actas de la Royal Society de Londres . A. Ciencias Físicas y Matemáticas. 299 (1456): 59–76. Código Bibliográfico : 1967RSPSA.299 ... 59B . doi : 10.1098 / rspa.1967.0123 .Concluyó con una discusión de Klaus Hasselmann .
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- ^ Solitones espaciales | Stefano Trillo | Springer .
Otras lecturas
- Zakharov, VE ; Ostrovsky, LA (2009). "Inestabilidad de modulación: el comienzo" (PDF) . Physica D: Fenómenos no lineales . 238 (5): 540–548. Código Bibliográfico : 2009PhyD..238..540Z . doi : 10.1016 / j.physd.2008.12.002 .[ enlace muerto permanente ]