Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal
En matemáticas , en el campo de la álgebra abstracta , el teorema de estructura para los módulos finitamente generados más de un dominio de ideal principal es una generalización de la teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados y afirma más o menos que los finitamente generados módulos de más de un dominio de ideales principales (PID) pueden descomponerse de forma única de la misma manera que los números enteros tienen una factorización prima . El resultado proporciona un marco simple para comprender varios resultados de formas canónicas para matrices cuadradas sobre campos .
Cuando un espacio vectorial sobre un campo F tiene un conjunto generador finito , entonces se puede extraer de él una base que consiste en un número finito n de vectores y, por lo tanto, el espacio es isomorfo a F n . El enunciado correspondiente con F generalizado a un dominio ideal principal R ya no es cierto, ya que es posible que no exista una base para un módulo generado finitamente sobre R. Sin embargo, tal módulo sigue siendo isomorfo a un cociente de algún módulo R n con nfinito (para ver esto basta con construir el morfismo que envía los elementos de la base canónica de R n a los generadores del módulo, y tomar el cociente por su núcleo ). Al cambiar la elección del grupo generador, se puede de hecho describe el módulo como el cociente de algún R n mediante un submódulo particularmente simple , y este es el teorema de la estructura.
El teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal generalmente aparece en las dos formas siguientes.
Para cada módulo M generado de forma finita sobre un dominio ideal principal R , existe una secuencia decreciente única de ideales propios de manera que M es isomorfo a la suma de módulos cíclicos :
Los generadores de los ideales son hasta única para la multiplicación por una unidad , y se denominan factores invariantes de M . Dado que los ideales deben ser adecuados, estos factores no deben ser invertibles en sí mismos (esto evita factores triviales en la suma), y la inclusión de los ideales significa que uno tiene divisibilidad . La parte libre es visible en la parte de descomposición correspondiente a factores . Dichos factores, si los hay, ocurren al final de la secuencia.
Si bien la suma directa está determinada únicamente por M , el isomorfismo que da la descomposición en sí no es único en general. Por ejemplo, si R es en realidad un campo, entonces todos los ideales que ocurren deben ser cero, y se obtiene la descomposición de un espacio vectorial de dimensión finita en una suma directa de subespacios unidimensionales ; el número de tales factores es fijo, es decir, la dimensión del espacio, pero hay mucha libertad para elegir los propios subespacios (si dim M > 1 ).