Las variedades abelianas son una generalización natural de las curvas elípticas , incluidos los toros algebraicos en dimensiones superiores. Así como las curvas elípticas tienen un espacio de módulos natural sobre la característica 0 construida como un cociente del semiplano superior por la acción de, [1] hay una construcción análoga para las variedades abelianasutilizando el semiespacio superior de Siegel y el grupo simpléctico . [2]
Construcciones sobre característica 0
Variedades abelianas principalmente polarizadas
Recuerde que el plano de la mitad superior de Siegel está dado por [3]
que es un subconjunto abierto en el matrices simétricas (desde es un subconjunto abierto de , y es continuo). Fíjate si esto da matrices con parte imaginaria positiva, por lo que este conjunto es una generalización del semiplano superior. Entonces cualquier punto da un toro complejo
con una polarización principal de la matriz [2] página 34 . Resulta que todas las variedades abelianas principalmente polarizadas surgen de esta manera, dandola estructura de un espacio de parámetros para todas las variedades abelianas principalmente polarizadas. Pero, existe una equivalencia donde
por
por lo tanto, el espacio de módulos de las variedades abelianas principalmente polarizadas se construye a partir del cociente de apilamiento
lo que le da una pila de Deligne-Mumford sobre. Si, en cambio, está dado por un cociente GIT , entonces da el espacio de módulos gruesos.
Variedades abelianas principalmente polarizadas con estructura de nivel n
En muchos casos, es más fácil trabajar con el espacio de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas con estructura de nivel n porque crea una rigidez del problema de módulos que da un functor de módulos en lugar de una pila de módulos. [4] [5] Esto significa que el functor es representable por una variedad algebraica, como una variedad o esquema , en lugar de una pila. Una estructura de nivel n viene dada por una base fija de
dónde es la celosía . La fijación de tal base elimina los automorfismos de una variedad abeliana en un punto del espacio de los módulos, por lo que existe una variedad algebraica genuina sin una estructura estabilizadora. Denotar
y definir
como variedad cociente.
Referencias
- ↑ Hain, Richard (25 de marzo de 2014). "Conferencias sobre espacios modulos de curvas elípticas". arXiv : 0812.1803 [ math.AG ].
- ^ a b Arapura, Donu. "Variedades y módulos abelianos" (PDF) .
- ^ Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (2004). Variedades Abelianas complejas . Grundlehren der mathischen Wissenschaften (2 ed.). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 210–241. ISBN 978-3-540-20488-6.
- ^ Mumford, David (1983), Artin, Michael; Tate, John (eds.), "Hacia una geometría enumerativa del espacio modular de curvas", Aritmética y geometría: artículos dedicados a IR Shafarevich con motivo de su sexagésimo cumpleaños. Volumen II: Geometría , Progreso en matemáticas, Birkhäuser, págs. 271–328, doi : 10.1007 / 978-1-4757-9286-7_12 , ISBN 978-1-4757-9286-7
- ^ Las estructuras denivel n se utilizan para construir una teoría de intersección de pilas Deligne-Mumford