En matemáticas , el problema de Schottky, que lleva el nombre de Friedrich Schottky , es una cuestión clásica de geometría algebraica , que solicita una caracterización de las variedades jacobianas entre las variedades abelianas .
Formulación geométrica
Más precisamente, uno debería considerar las curvas algebraicas de un género dado , y sus jacobianos . Hay un espacio de módulos de tales curvas, y un espacio de módulos de variedades abelianas ,, de dimensión , que están principalmente polarizados . Hay un morfismo
que en puntos (puntos geométricos , para ser más precisos) toma clase de isomorfismo a . El contenido del teorema de Torelli es quees inyectivo (de nuevo, en puntos). El problema de Schottky pide una descripción de la imagen de, denotado . [1]
La dimensión de es , [2] para, mientras que la dimensión de es g ( g + 1) / 2. Esto significa que las dimensiones son las mismas (0, 1, 3, 6) para g = 0, 1, 2, 3. Por lo tantoes el primer caso en el que cambian las dimensiones, y esto fue estudiado por F. Schottky en la década de 1880. Schottky aplicó las constantes theta , que son formas modulares para el semiespacio superior de Siegel , para definir el locus de Schottky en. Una forma más precisa de la pregunta es determinar si la imagen deesencialmente coincide con el locus de Schottky (en otras palabras, si es Zariski denso allí).
Caja dimensión 1
Todas las curvas elípticas son el jacobiano en sí mismas, de ahí la pila de módulos de curvas elípticas es un modelo para .
Dimensiones 2 y 3
En el caso de las superficies abelianas, existen dos tipos de variedades abelianas: [3] el jacobiano de una curva de género 2, o el producto de los jacobianos de curvas elípticas . Esto significa que los espacios de los módulos
incrustar en . Existe una descripción similar para la dimensión 3, ya que una variedad abeliana puede ser producto de los jacobianos.
Formulación de celosía de período
Si uno describe el espacio de los módulos en términos intuitivos, como los parámetros de los que depende una variedad abeliana, el problema de Schottky pregunta simplemente qué condición de los parámetros implica que la variedad abeliana proviene del jacobiano de una curva. El caso clásico, sobre el campo de números complejos, ha recibido la mayor parte de la atención, y luego una variedad abeliana A es simplemente un toro complejo de un tipo particular, que surge de una red en C g . En términos relativamente concretos, se pregunta qué celosías son las celosías de período de las superficies compactas de Riemann .
Formulación de la matriz de Riemann
Tenga en cuenta que una matriz de Riemann es bastante diferente de cualquier tensor de Riemann
Uno de los mayores logros de Bernhard Riemann fue su teoría de las funciones tori y theta complejas . Usando la función theta de Riemann , Riemann anotó las condiciones necesarias y suficientes en una celosía para que una celosía en C g tenga el toro correspondiente incrustado en un espacio proyectivo complejo . (La interpretación puede haber llegado más tarde, con Solomon Lefschetz , pero la teoría de Riemann era definitiva). Los datos son lo que ahora se llama una matriz de Riemann . Por lo tanto, el complejo problema de Schottky se convierte en la cuestión de caracterizar las matrices de período de superficies compactas de Riemann del género g , formadas integrando una base para las integrales abelianas alrededor de una base para el primer grupo de homología , entre todas las matrices de Riemann. Fue resuelto por Takahiro Shiota en 1986. [4]
Geometría del problema
Hay varios enfoques geométricos, y también se ha demostrado que la pregunta implica la ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , relacionada con la teoría del solitón .
Ver también
Referencias
- ↑ Grushevsky, Samuel (29 de septiembre de 2010). "El problema de Schottky". arXiv : 1009.0369 [ math.AG ].
- ^ se desprende de la teoría de la deformación elemental
- ^ Oort, F. (1973). Las variedades abelianas polarizadas principalmente de dimensión dos o tres son variedades jacobianas (PDF) . Aarhus Universitet. Matematisk Institut. OCLC 897746916 . Archivado desde el original el 9 de junio de 2020.
- ^ Shiota, Takahiro (1986). "Caracterización de variedades jacobianas en términos de ecuaciones en solitón". Inventiones Mathematicae . 83 (2): 333–382. Código bibliográfico : 1986InMat..83..333S . doi : 10.1007 / BF01388967 . S2CID 120739493 .
- Beauville, Arnaud (1987), "Le problème de Schottky et la conjecture de Novikov" , Astérisque , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN 0303-1179 , MR 0936851
- Debarre, Olivier (1995), "El problema de Schottky: una actualización" , Temas actuales en geometría algebraica compleja (Berkeley, CA, 1992/93) , Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ., 28 , Cambridge University Press , págs. 57–64, MR 1397058
- Geer, G. van der (2001) [1994], "Problema de Schottky" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Grushevsky, Samuel (2011), "El problema de Schottky" (PDF) , en Caporaso, Lucia ; McKernan, James; Popa, Mihnea; et al. (eds.), Current Developments in Algebraic Geometry , MSRI Publications, 59 , ISBN 978-0-521-76825-2