En matemáticas , la pila de módulos de curvas elípticas , denotada como o , es una pila algebraica sobreclasificación de curvas elípticas. Tenga en cuenta que es un caso especial de la pila Moduli de curvas algebraicas . En particular, sus puntos con valores en algún campo corresponden a curvas elípticas sobre el campo y, más generalmente, morfismos de un esquema. corresponde a curvas elípticas sobre . La construcción de este espacio se extiende por más de un siglo debido a las diversas generalizaciones de las curvas elípticas a medida que el campo se ha desarrollado. Todas estas generalizaciones están contenidas en.
Pila suave Deligne-Mumford
La pila de módulos de curvas elípticas es una pila de Deligne-Mumford separada uniforme de tipo finito sobre, pero no es un esquema ya que las curvas elípticas tienen automorfismos no triviales.
j-invariante
Hay un morfismo adecuado de a la línea afín, el espacio de módulos gruesos de las curvas elípticas, dado por la j -invariante de una curva elíptica.
Es una observación clásica que toda curva elíptica sobre se clasifica por sus períodos . Dada una base para su homología integral y una forma diferencial holomórfica global (que existe porque es suave y la dimensión del espacio de tales diferenciales es igual al género , 1), las integrales
dar los generadores por un -rejilla de rango 2 dentro de [1] pág . 158 . Por el contrario, dada una celosía integral de rango dentro de , hay una incrustación del complejo toro dentro de la función P de Weierstrass [1] pág . 165 . Esta correspondencia isomorfa es dado por y permanece hasta el homotecia de la celosía , que es la relación de equivalencia Es estándar escribir la celosía en la forma por , un elemento del semiplano superior , ya que la celosía podría multiplicarse por , y ambos generan la misma subred. Entonces, el semiplano superior da un espacio de parámetros de todas las curvas elípticas sobre . Existe una equivalencia adicional de curvas dada por la acción del donde una curva elíptica definida por la celosía es isomorfo a las curvas definidas por la celosía dado por la acción modular Entonces, la pila de módulos de curvas elípticas sobre viene dado por el cociente de la pila Tenga en cuenta que algunos autores construyen este espacio de módulos utilizando en su lugar la acción del grupo Modular. En este caso, los puntos en tener solo estabilizadores triviales son densos. Puntos Stacky / Orbifold
Genéricamente, los puntos en son isomorfos a la pila de clasificación ya que cada curva elíptica corresponde a una doble cobertura de , entonces el -La acción sobre la punta corresponde a la involución de estas dos ramas del recubrimiento. Hay algunos puntos especiales [2] pág. 10-11 correspondientes a curvas elípticas con-invariante igual a y donde los grupos de automorfismos son de orden 4, 6, respectivamente [3] pg 170 . Un punto en el dominio fundamental con estabilizador de orden corresponde a , y los puntos correspondientes al estabilizador de orden corresponden a las [4] pág . 78 .
Representar involuciones de curvas planas
Dada una curva plana por su ecuación de Weierstrass
y una solucion , genéricamente para j-invariante, ahí está el -envío de involución . En el caso especial de una curva con multiplicación compleja he aquí el -envío de involución . El otro caso especial es cuando , entonces una curva de la para ahí está el -envío de involución dónde es la tercera raíz de la unidad. Dominio fundamental y visualización
Hay un subconjunto del semiplano superior llamado dominio fundamental que contiene todas las clases de isomorfismos de curvas elípticas. Es el subconjunto
Es útil considerar este espacio porque ayuda a visualizar la pila . Del mapa del cociente la imagen de es sobreyectiva y su interior es inyectivo [4] pág . 78 . Además, los puntos en el límite se pueden identificar con su imagen especular debajo del envío de involución. , entonces se puede visualizar como la curva proyectiva con un punto eliminado en el infinito [5] pág . 52 . Paquetes de líneas y funciones modulares
Hay paquetes de líneas sobre la pila de módulos cuyas secciones corresponden a funciones modulares en la mitad superior del plano . En existen -acciones compatibles con la acción en dada por
El grado la acción está dada por de ahí el paquete de línea trivial con el grado la acción desciende a un paquete de líneas único denotado . Observe la acción sobre el factor es una representación de en por lo tanto, tales representaciones se pueden tensar juntas, mostrando . Las secciones de son entonces secciones de funciones compatible con la acción de , o equivalentemente, funciones tal que Ésta es exactamente la condición para que una función holomórfica sea modular. Formas modulares
Las formas modulares son las funciones modulares que se pueden ampliar a la compactificación
esto se debe a que para compactar la pila , se debe agregar un punto en el infinito, que se realiza mediante un proceso de encolado pegando el -disco (donde una función modular tiene su -expansión) [2] págs . 29-33 . Curvas universales
Construyendo las curvas universales es un proceso de dos pasos: (1) construir una curva versal y luego (2) demuestre que esto se comporta bien con respecto a la -acción en . La combinación de estas dos acciones juntas produce la pila del cociente
Curva Versal
Cada rango 2 -rejilla en induce un canon -acción en . Como antes, dado que cada celosía es homotética a una celosía de la forma entonces la accion envía un punto a
Porque el en puede variar en esta acción, hay un inducido -acción en dando el espacio del cociente proyectando sobre . SL 2 -acción en Z 2
Hay un -acción en que es compatible con la acción en , es decir, dado un punto y un , la nueva celosía y una acción inducida de , que se comporta como se esperaba. Esta acción viene dada por
que es la multiplicación de matrices a la derecha, entonces