En geometría algebraica, una pila de cociente es una pila que parametriza objetos equivariantes. Geométricamente, generaliza un cociente de un esquema o una variedad por grupo: una variedad de cociente, por ejemplo, sería una aproximación burda de una pila de cocientes.
La noción es de fundamental importancia en el estudio de las pilas: una pila que surge en la naturaleza a menudo es una pila de cociente o admite una estratificación por pilas de cociente (por ejemplo, una pila de Deligne-Mumford ). Una pila de cociente también se utiliza para construir otras pilas como clasificar pilas .
Definición
Una pila de cocientes se define de la siguiente manera. Deje que G sea un suave afín esquema de grupo sobre un sistema de S y X un S -Esquema en la que G actúa . Dejarser la categoría sobre la categoría de esquemas S :
- un objeto sobre T es un paquete G principal junto con el mapa equivariante ;
- una flecha de a es un mapa de paquete (es decir, forma un diagrama conmutativo) que es compatible con los mapas equivariantes y .
Suponga el cociente existe como un espacio algebraico (por ejemplo, por el teorema de Keel-Mori ). El mapa canónico
- ,
que envía un paquete P sobre T a un punto T correspondiente , [1] no necesita ser un isomorfismo de pilas; es decir, el espacio "X / G" suele ser más grueso. El mapa canónico es un isomorfismo si y solo si los estabilizadores son triviales (en cuyo casoexiste.) [ cita requerida ]
En general, es una pila de Artin (también llamada pila algebraica). Si los estabilizadores de los puntos geométricos son finitos y reducidos, entonces es una pila Deligne-Mumford .
Burt Totaro ( 2004 ) ha demostrado: sea X una pila algebraica noetheriana normal cuyos grupos estabilizadores en puntos cerrados son afines. Entonces X es una pila de cociente si y solo si tiene la propiedad de resolución ; es decir, cada haz coherente es un cociente de un paquete de vectores. Anteriormente, Robert Wayne Thomason demostró que una pila de cocientes tiene la propiedad de resolución.
Ejemplos de
Un cociente eficaz orbifold , p. Ej., donde el La acción tiene solo estabilizadores finitos en el espacio liso. , es un ejemplo de una pila de cocientes. [2]
Si con una acción trivial de G (a menudo S es un punto), entoncesse llama la pila de clasificación de G (en analogía con el espacio de clasificación de G ) y generalmente se denota por BG . El teorema de Borel describe el anillo de cohomología de la pila de clasificación.
Ejemplo: [3] Sea L el anillo de Lazard ; es decir,. Entonces la pila del cociente por ,
- ,
se llama la pila de módulos de leyes formales de grupo , denotada por.
Ver también
- Cociente de homotopía
- Pila de módulos de paquetes principales (que, aproximadamente, es un producto infinito de la clasificación de pilas).
- Acción de esquema de grupo
Referencias
- ^ Elpunto T se obtiene completando el diagrama.
- ^ Orbifolds y topología fibrosa . Definición 1.7: Cambridge Tracts in Mathematics. pag. 4.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ Tomado de http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf
- Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240
- Totaro, Burt (2004). "La propiedad de resolución para esquemas y pilas". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 577 : 1–22. arXiv : matemáticas / 0207210 . doi : 10.1515 / crll.2004.2004.577.1 . Señor 2108211 .
Algunas otras referencias son
- Behrend, Kai (1991). La fórmula de seguimiento de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales (PDF) (Tesis). Universidad de California, Berkeley.
- Edidin, Dan. "Apuntes sobre la construcción del espacio de módulos de curvas" (PDF) .