En teoría de números y geometría algebraica , una curva modular Y (Γ) es una superficie de Riemann , o la curva algebraica correspondiente , construida como un cociente del semiplano superior complejo H por la acción de un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular de matrices integrales 2 × 2 SL (2, Z ). El término curva modular también se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactadas X (Γ) que son compactaciones obtenidas sumando un número finito de puntos (llamadas cúspides de Γ) a este cociente (a través de una acción en el semiplano superior complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan clases de isomorfismos de curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional dependiendo del grupo Γ. Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de curvas modulares, sin referencia a números complejos y, además, demostrar que las curvas modulares se definen sobre el campo de números racionales Q o sobre un campo ciclotómico Q (ζ n ). Este último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría de números.
Definición analítica
El grupo modular SL (2, Z ) actúa sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo de congruencia Γ de SL (2, Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo de congruencia principal de nivel N Γ ( N ), para algún entero positivo N , donde
El mínimo de tal N se llama nivel de Γ . Se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ \ H para obtener una superficie de Riemann no compacta comúnmente denominada Y (Γ).
Curvas modulares compactadas
Una compactación común de Y (Γ) se obtiene sumando un número finito de puntos llamados cúspides de Γ. Específicamente, esto se hace considerando la acción de Γ en el semiplano superior complejo extendido H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Introducimos una topología en H * tomando como base:
- cualquier subconjunto abierto de H ,
- para todo r > 0, el conjunto
- para todos los enteros coprimos a , cy todos r > 0, la imagen de bajo la acción de
- donde m , n son números enteros tales que an + cm = 1.
Esto convierte a H * en un espacio topológico que es un subconjunto de la esfera de Riemann P 1 ( C ). El grupo Γ actúa sobre el subconjunto Q ∪ {∞ }, dividiéndolo en un número finito de órbitas llamadas cúspides de Γ . Si Γ actúa transitivamente en Q ∪ {∞ }, el espacio Γ \ H * se convierte en el compactificación Alexandroff de Γ \ H . Una vez más, se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ \ H * convirtiéndola en una superficie de Riemann denominada X (Γ) que ahora es compacta . Este espacio es una compactificación de Y (Γ). [1]
Ejemplos de
Los ejemplos más comunes son las curvas X ( N ), X 0 ( N ) y X 1 ( N ) asociadas con los subgrupos Γ ( N ), Γ 0 ( N ) y Γ 1 ( N ).
La curva modular X (5) tiene género 0: es la esfera de Riemann con 12 cúspides ubicadas en los vértices de un icosaedro regular . El recubrimiento X (5) → X (1) se realiza mediante la acción del grupo icosaédrico sobre la esfera de Riemann. Este grupo es un grupo simple de orden 60 isomorfo a A 5 y PSL (2, 5).
La curva modular X (7) es el cuartico de Klein del género 3 con 24 cúspides. Se puede interpretar como una superficie con tres asas alicatadas por 24 heptágonos, con una cúspide en el centro de cada cara. Estos mosaicos se pueden entender a través de dessins d'enfants y funciones de Belyi : las cúspides son los puntos que se encuentran sobre ∞ (puntos rojos), mientras que los vértices y centros de los bordes (puntos en blanco y negro) son los puntos que se encuentran sobre 0 y 1. El grupo de Galois de la cobertura X (7) → X (1) es un grupo simple de orden 168 isomorfo a PSL (2, 7) .
Existe un modelo clásico explícito para X 0 ( N ), la curva modular clásica ; esto a veces se llama la curva modular. La definición de Γ ( N ) puede ser reexpresada como sigue: es el subgrupo del grupo modular que es el núcleo de la reducción de módulo N . Entonces Γ 0 ( N ) es el subgrupo más grande de matrices que son módulo triangular superior N :
y Γ 1 ( N ) es el grupo intermedio definido por:
Estas curvas tienen una interpretación directa como espacios de módulos para curvas elípticas con estructura de nivel y por esta razón juegan un papel importante en la geometría aritmética . La curva modular de nivel N X ( N ) es el espacio de módulos para curvas elípticas con una base para la N - torsión . Para X 0 ( N ) y X 1 ( N ), la estructura de nivel es, respectivamente, un subgrupo cíclico de orden N y una cuestión de orden N . Estas curvas han sido estudiados en gran detalle, y, en particular, se sabe que X 0 ( N ) se puede definir más de Q .
Las ecuaciones que definen curvas modulares son los ejemplos más conocidos de ecuaciones modulares . Los "mejores modelos" pueden ser muy diferentes de los tomados directamente de la teoría de la función elíptica . Los operadores de Hecke pueden estudiarse geométricamente, como correspondencias que conectan pares de curvas modulares.
Observación : los cocientes de H que son compactos ocurren para los grupos fucsianos Γ distintos de los subgrupos del grupo modular; una clase de ellos construida a partir de álgebras de cuaterniones también es de interés en la teoría de números.
Género
La cobertura X ( N ) → X (1) es Galois, con el grupo de Galois SL (2, N ) / {1, −1}, que es igual a PSL (2, N ) si N es primo. Aplicando la fórmula de Riemann-Hurwitz y el teorema de Gauss-Bonnet , se puede calcular el género de X ( N ). Para un nivel principal p ≥ 5,
donde χ = 2 - 2 g es la característica de Euler , | G | = ( p +1) p ( p −1) / 2 es el orden del grupo PSL (2, p ), y D = π - π / 2 - π / 3 - π / p es el defecto angular del esférico (2,3, p ) triángulo. Esto da como resultado una fórmula
Así, X (5) tiene el género 0, X (7) tiene el género 3 y X (11) tiene el género 26. Para p = 2 o 3, se debe tener en cuenta adicionalmente la ramificación, es decir, la presencia del orden p elementos en PSL (2, Z ), y el hecho de que PSL (2, 2) tiene orden 6, en lugar de 3. Hay una fórmula más complicada para el género de la curva modular X ( N ) de cualquier nivel N que implica divisores de N .
Género zero
En general, un campo de función modular es un campo de función de una curva modular (o, ocasionalmente, de algún otro espacio de módulos que resulta ser una variedad irreducible ). El género cero significa que dicho campo de función tiene una única función trascendental como generador: por ejemplo, la función j genera el campo de función de X (1) = PSL (2, Z ) \ H *. El nombre tradicional de un generador de este tipo, que es único hasta una transformación de Möbius y puede normalizarse adecuadamente, es Hauptmodul ( función modular principal o principal ).
Los espacios X 1 ( n ) tienen género cero para n = 1, ..., 10 yn = 12. Dado que cada una de estas curvas se define sobre Q y tiene un punto Q -racional, se deduce que hay infinitos puntos en cada una de estas curvas y, por tanto, infinitas curvas elípticas definidas sobre Q con n- torsión para estos valores de n . El enunciado inverso, que solo pueden ocurrir estos valores de n , es el teorema de torsión de Mazur .
Relación con el grupo Monster
Las curvas modulares del género 0, que son bastante raras, resultaron ser de gran importancia en relación con las monstruosas conjeturas de la luz de la luna . Primero se calcularon varios coeficientes de q- expansiones de su Hauptmoduln ya en el siglo XIX, pero fue una sorpresa que los mismos grandes enteros aparecieran como dimensiones de representaciones del mayor grupo esporádico simple Monstruo.
Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador Γ 0 ( p ) + de Γ 0 ( p ) en SL (2, R ) tiene género cero si y solo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13 , 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y estos son precisamente los factores primos del orden del grupo de monstruos . El resultado sobre Γ 0 ( p ) + se debe a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson en la década de 1970, y la observación posterior que lo relaciona con el grupo de monstruos se debe a Ogg, quien escribió un artículo en el que botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho, que fue un punto de partida para la teoría del monstruoso alcohol ilegal. [2]
La relación es muy profunda y, como lo demostró Richard Borcherds , también involucra álgebras de Kac-Moody generalizadas . El trabajo en esta área subrayó la importancia de las funciones modulares que son meromorfas y pueden tener polos en las cúspides, a diferencia de las formas modulares , que son holomorfas en todas partes, incluidas las cúspides, y que habían sido los principales objetos de estudio durante la mayor parte del año. siglo 20.
Ver también
- Teorema de Manin-Drinfeld
- Pila de módulos de curvas elípticas
- Teorema de modularidad
- Variedad Shimura , una generalización de curvas modulares a mayores dimensiones
Referencias
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1977), Cours d'arithmétique , Le Mathématicien, 2 (2.a ed.), Presses Universitaires de France
- ↑ Ogg (1974)
- Steven D. Galbraith - Ecuaciones para curvas modulares
- Shimura, Goro (1994) [1971], Introducción a la teoría aritmética de funciones automórficas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, 11 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08092-5, MR 1291394 , Conferencias en memoria de Kanô, 1CS1 maint: posdata ( enlace )
- Panchishkin, AA; Parshin, AN , "Curva modular" , Enciclopedia de Matemáticas , ISBN 1-4020-0609-8
- Ogg, Andrew P. (1974), "Automorphismes de courbes modulaires" (PDF) , Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, tomo 16, no. 1 (1974-1975), exp. No. 7 (en francés), MR 0417184