Teoría algebraica de números
La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números que usa las técnicas del álgebra abstracta para estudiar los números enteros , los números racionales y sus generalizaciones. Las preguntas de teoría de números se expresan en términos de propiedades de objetos algebraicos como campos numéricos algebraicos y sus anillos de números enteros , campos finitos y campos de función . Estas propiedades, como si un anillo admite factorización única , el comportamiento de los ideales y los grupos de campos de Galois, puede resolver cuestiones de importancia primordial en la teoría de números, como la existencia de soluciones a las ecuaciones diofánticas .
Los inicios de la teoría algebraica de números se remontan a las ecuaciones diofánticas, [1] nombradas en honor al matemático alejandrino del siglo III , Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema típico Diophantine es encontrar dos enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados, la igualdad de dos números dados A y B , respectivamente:
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática x 2 + y 2 = z 2 están dadas por las triples pitagóricas , originalmente resueltas por los babilonios (c. 1800 aC). [2] Las soluciones a las ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (c. Siglo V a. C.). [3]
El último teorema de Fermat fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637, famoso en el margen de una copia de Arithmetica donde afirmó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. No se publicó ninguna prueba exitosa hasta 1995 a pesar de los esfuerzos de innumerables matemáticos durante los 358 años intermedios. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX.
Una de las obras fundacionales de la teoría algebraica de números, las Disquisitiones Arithmeticae ( latín : Arithmetical Investigations ) es un libro de texto de teoría de números escrito en latín [4] por Carl Friedrich Gauss en 1798 cuando Gauss tenía 21 años y publicado por primera vez en 1801 cuando tenía 24 En este libro, Gauss reúne los resultados de la teoría de números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler , Lagrange y Legendre y añade importantes nuevos resultados propios. Antes de las Disquisicionesse publicó, la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aisladas. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores junto con su propio trabajo original en un marco sistemático, llenó los vacíos, corrigió las pruebas erróneas y amplió el tema de muchas maneras.
The Disquisitiones fue el punto de partida para el trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, incluidos Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones dadas por Gauss son, en efecto, anuncios de nuevas investigaciones propias, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron parecerles particularmente crípticos a sus contemporáneos; ahora podemos leerlos como si contienen los gérmenes de las teorías de las funciones L y la multiplicación compleja , en particular.
