El método de distribución de momentos es un método de análisis estructural para vigas y pórticos estáticamente indeterminados desarrollado por Hardy Cross . Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE . [1] El método solo tiene en cuenta los efectos de flexión e ignora los efectos axiales y cortantes. Desde la década de 1930 hasta que las computadoras comenzaron a usarse ampliamente en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el método más practicado.
Introducción
En el método de distribución de momentos, cada junta de la estructura a analizar es fija para desarrollar los momentos finales fijos . Luego, cada articulación fija se libera secuencialmente y los momentos de los extremos fijos (que en el momento de la liberación no están en equilibrio) se distribuyen a los miembros adyacentes hasta que se alcanza el equilibrio . El método de distribución de momentos en términos matemáticos se puede demostrar como el proceso de resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas mediante iteración .
El método de distribución de momentos entra en la categoría de método de desplazamiento del análisis estructural.
Implementación
Para aplicar el método de distribución de momentos para analizar una estructura, se deben considerar las siguientes cosas.
Momentos finales fijos
Los momentos finales fijos son los momentos producidos en los extremos de los miembros por cargas externas.
Rigidez a la flexión
La rigidez a la flexión (EI / L) de un elemento se representa como la rigidez a la flexión del elemento (producto del módulo de elasticidad (E) y el segundo momento del área (I)) dividido por la longitud (L) del elemento. . Lo que se necesita en el método de distribución de momentos no son los valores específicos sino las relaciones de rigidez a la flexión entre todos los miembros.
Factores de distribución
Cuando se suelta una articulación y comienza a rotar bajo el momento de desequilibrio, se desarrollan fuerzas de resistencia en cada miembro enmarcado en la articulación. Aunque la resistencia total es igual al momento desequilibrado, las magnitudes de las fuerzas de resistencia desarrolladas en cada miembro difieren según la rigidez de flexión de los miembros. Los factores de distribución se pueden definir como las proporciones de los momentos de desequilibrio llevados por cada uno de los miembros. En términos matemáticos, el factor de distribución de miembro enmarcado en la articulación se da como:
donde n es el número de miembros enmarcados en la articulación.
Factores de arrastre
Cuando se suelta una articulación, se produce un momento de equilibrio para contrarrestar el momento de desequilibrio. El momento de equilibrio es inicialmente el mismo que el momento del extremo fijo. Este momento de equilibrio se traslada luego al otro extremo del miembro. La relación entre el momento de arrastre en el otro extremo y el momento del extremo fijo del extremo inicial es el factor de arrastre.
Determinación de factores de arrastre
Deje que un extremo (extremo A) de una viga fija se suelte y aplique un momento mientras que el otro extremo (extremo B) permanece fijo. Esto hará que el extremo A gire en un ángulo. Una vez que la magnitud de desarrollado en el extremo B, el factor de arrastre de este miembro se da como la relación de encima :
En el caso de una viga de longitud L con sección constante cuya rigidez a la flexión es ,
por lo tanto, el factor de arrastre
Convención de signos
Una vez que se ha elegido una convención de signos, debe mantenerse para toda la estructura. La convención de signos del ingeniero tradicional no se utiliza en los cálculos del método de distribución de momentos, aunque los resultados se pueden expresar de la forma convencional. En el caso de BMD, el momento del lado izquierdo es en el sentido de las agujas del reloj y el otro es en el sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que la flexión es positiva y se denomina comba.
Estructura enmarcada
La estructura enmarcada con o sin lateral se puede analizar utilizando el método de distribución de momentos.
Ejemplo
Se analizará la viga estáticamente indeterminada que se muestra en la figura.
Se considera que la viga son tres miembros separados, AB, BC y CD, conectados por juntas de extremo fijo (resistentes al momento) en B y C.
- Los miembros AB, BC, CD tienen el mismo intervalo .
- Las rigideces de flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.
- Carga concentrada de magnitud actúa a distancia del soporte A.
- Carga uniforme de intensidad actúa sobre BC.
- El CD de miembros se carga en su midspan con una carga concentrada de magnitud .
En los siguientes cálculos, los momentos en el sentido de las agujas del reloj son positivos.
Momentos finales fijos
Rigidez a la flexión y factores de distribución.
La rigidez a la flexión de los miembros AB, BC y CD son , y , respectivamente [ disputado ] . Por lo tanto, expresando los resultados en notación decimal repetida :
Los factores de distribución de las articulaciones A y D son y .
Factores de arrastre
Los factores de arrastre son , excepto por el factor de arrastre de D (soporte fijo) a C que es cero.
Distribución de momentos
Los números en gris son momentos equilibrados; Las flechas ( → / ← ) representan el arrastre del momento de un extremo al otro extremo de un miembro. * Paso 1: A medida que se libera la articulación A, momento de equilibrio de magnitud igual al momento final fijo se desarrolla y se traslada de la articulación A a la articulación B. * Paso 2: El momento desequilibrado en la articulación B ahora es la suma de los momentos finales fijos , y el momento de arrastre de la articulación A. Este momento desequilibrado se distribuye a los miembros BA y BC de acuerdo con los factores de distribución y . El paso 2 finaliza con la transferencia del momento equilibrado a la articulación C. La articulación A es un soporte de rodillo que no tiene restricción de rotación, por lo que el traslado de momento de la articulación B a la articulación A es cero. * Paso 3: El momento desequilibrado en la articulación C ahora es la suma de los momentos finales fijos , y el momento de arrastre de la articulación B. Como en el paso anterior, este momento de desequilibrio se distribuye a cada miembro y luego se transfiere a la articulación D y de nuevo a la articulación B. La articulación D es un soporte fijo y los momentos de transferencia a esta articulación se no se distribuirá ni se trasladará a la articulación C. * Paso 4: La articulación B todavía tiene un momento de equilibrio que se transfirió de la articulación C en el paso 3. La articulación B se libera una vez más para inducir la distribución del momento y lograr el equilibrio. * Pasos 5 - 10: Las juntas se sueltan y se vuelven a fijar hasta que todas las juntas tengan momentos de desequilibrio de tamaño cero o insignificantemente pequeños en la precisión requerida. La suma aritmética de todos los momentos en cada columna respectiva da los valores de los momentos finales.
Resultado
- Momentos en las articulaciones determinados por el método de distribución de momentos
- Aquí se utiliza la convención de signos del ingeniero convencional, es decir, los momentos positivos provocan el alargamiento en la parte inferior de un miembro de la viga.
Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados usando un método matricial . Tenga en cuenta que en el análisis anterior, el proceso iterativo se llevó a cabo con una precisión> 0,01. El hecho de que los resultados del análisis matricial y los resultados del análisis de distribución de momentos coincidan con una precisión de 0,001 es mera coincidencia.
- Momentos en las articulaciones determinados por el método matricial
Tenga en cuenta que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las articulaciones. El desarrollo de diagramas completos de momentos flectores requiere cálculos adicionales utilizando los momentos articulares determinados y el equilibrio de la sección interna.
Resultado mediante método de desplazamientos
Como el método de Hardy Cross solo proporciona resultados aproximados, con un margen de error inversamente proporcional al número de iteraciones, es importante [ cita requerida ] tener una idea de cuán preciso podría ser este método. Con esto en mente, aquí está el resultado obtenido usando un método exacto: el método de desplazamiento
Para ello, la ecuación del método de los desplazamientos asume la siguiente forma:
Para la estructura descrita en este ejemplo, la matriz de rigidez es la siguiente:
El vector de fuerza nodal equivalente:
Reemplazando los valores presentados arriba en la ecuación y resolviéndolo para conduce al siguiente resultado:
Por tanto, los momentos evaluados en el nodo B son los siguientes:
Los momentos evaluados en el nodo C son los siguientes:
Ver también
Notas
- ^ Cruz, Hardy (1930). "Análisis de tramas continuas mediante la distribución de momentos fijos". Actas de la Sociedad Estadounidense de Ingenieros Civiles . ASCE. págs. 919–928.
Referencias
- Błaszkowiak, Stanisław; Zbigniew Kączkowski (1966). Métodos iterativos en análisis estructural . Pergamon Press, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
- Norris, Charles Head; John Benson Wilbur; Senol Utku (1976). Análisis estructural elemental (3ª ed.). McGraw-Hill. págs. 327–345 . ISBN 0-07-047256-4.
- McCormac, Jack C .; Nelson, James K. Jr. (1997). Análisis estructural: un enfoque clásico y matricial (2ª ed.). Addison-Wesley. págs. 488–538 . ISBN 0-673-99753-7.
- Yang, Chang-hyeon (10 de enero de 2001). Análisis estructural (en coreano) (4ª ed.). Seúl: Editores Cheong Moon Gak. págs. 391–422. ISBN 89-7088-709-1. Archivado desde el original el 8 de octubre de 2007 . Consultado el 31 de agosto de 2007 .
- Volokh, KY (2002). "Sobre los cimientos del método Hardy Cross". Revista Internacional de Sólidos y Estructuras . Revista Internacional de Sólidos y Estructuras, volumen 39, número 16, agosto de 2002, páginas 4197-4200. 39 (16): 4197–4200. doi : 10.1016 / S0020-7683 (02) 00345-1 .