En matemáticas , una ecuación de Monge-Ampère (real) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden no lineal de tipo especial. Una ecuación de segundo orden para la función desconocida u de dos variables x , y es de tipo Monge-Ampère si es lineal en el determinante de la matriz hessiana de u y en las derivadas parciales de segundo orden de u . Las variables independientes ( x , y ) varían en un dominio dado D de R 2. El término también se aplica a ecuaciones análogas con n variables independientes. Los resultados más completos hasta ahora se han obtenido cuando la ecuación es elíptica .
Las ecuaciones de Monge-Ampère surgen con frecuencia en geometría diferencial , por ejemplo, en los problemas de Weyl y Minkowski en geometría diferencial de superficies . Fueron estudiados por primera vez por Gaspard Monge en 1784 [1] y más tarde por André-Marie Ampère en 1820. [2] Sergei Bernstein , Aleksei Pogorelov , Charles Fefferman y Louis obtuvieron resultados importantes en la teoría de las ecuaciones de Monge-Ampère. Nirenberg . Más recientemente, en 2018, Alessio Figalli ganó la medalla Fieldspara trabajos relacionados en parte con la regularidad de la ecuación de Monge-Ampère. [3]
Teniendo en cuenta dos variables independientes x y y , y una variable dependiente T , la ecuación general Monge-Ampère es de la forma
donde A , B , C , D y E son funciones que dependen de las variables de primer orden x , y , u , u x y u y únicamente.
Deje Ω ser un dominio acotado en R 3 , y supongamos que en Ω A , B , C , D , y E son funciones continuas de x y y solamente. Considere el problema de Dirichlet para encontrar u de modo que
Suponga ahora que x es una variable con valores en un dominio en R n , y que f ( x , u , Du ) es una función positiva. Luego, la ecuación de Monge-Ampère