Método de Monte Carlo en física estadística

Monte Carlo en física estadística se refiere a la aplicación del método Monte Carlo a problemas de física estadística o mecánica estadística .

Visión general

La motivación general para utilizar el método de Monte Carlo en física estadística es evaluar una integral multivariable. El problema típico comienza con un sistema para el que se conoce el hamiltoniano, se encuentra a una temperatura determinada y sigue las estadísticas de Boltzmann . Para obtener el valor medio de alguna variable macroscópica, digamos A, el enfoque general es calcular, en todo el espacio de fase , PS para simplificar, el valor medio de A utilizando la distribución de Boltzmann:

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}}$.

donde es la energía del sistema para un estado dado definida por : un vector con todos los grados de libertad (por ejemplo, para un sistema mecánico ), y${\displaystyle E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle {\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)}$${\displaystyle \beta \equiv 1/k_{b}T}$

${\displaystyle Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}}$

es la función de partición .

Un posible enfoque para resolver esta integral multivariable es enumerar exactamente todas las configuraciones posibles del sistema y calcular los promedios a voluntad. Esto se hace en sistemas con solución exacta y en simulaciones de sistemas simples con pocas partículas. En sistemas realistas, por otro lado, una enumeración exacta puede ser difícil o imposible de implementar.

Para esos sistemas, generalmente se emplea la integración de Monte Carlo (que no debe confundirse con el método de Monte Carlo , que se utiliza para simular cadenas moleculares). La principal motivación para su uso es el hecho de que, con la integración de Monte Carlo, el error es como , independientemente de la dimensión de la integral. Otro concepto importante relacionado con la integración de Monte Carlo es el muestreo de importancia , una técnica que mejora el tiempo computacional de la simulación.${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$

En las siguientes secciones se discute la implementación general de la integración de Monte Carlo para resolver este tipo de problemas.

Muestreo de importancia

Una estimación, bajo la integración de Monte Carlo, de una integral definida como

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z}$

es

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde se obtienen uniformemente de todo el espacio de fase (PS) y N es el número de puntos de muestreo (o evaluaciones de funciones).${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

De todo el espacio de fase, algunas zonas son generalmente más importantes para la media de la variable que otras. En particular, aquellos que tienen el valor suficientemente alto en comparación con el resto de los espectros de energía son los más relevantes para la integral. Utilizando este hecho, la pregunta natural a plantearse es: ¿es posible elegir, con más frecuencia, los estados que se sabe que son más relevantes para la integral? La respuesta es sí, utilizando la técnica de muestreo por importancia .${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}}$

Supongamos que es una distribución que elige los estados que se sabe que son más relevantes para la integral.${\displaystyle p({\vec {r}})}$

El valor medio de se puede reescribir como${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}}$,

donde están los valores muestreados teniendo en cuenta la probabilidad de importancia . Esta integral se puede estimar mediante${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z}$

donde ahora se generan aleatoriamente utilizando la distribución. Dado que la mayoría de las veces no es fácil encontrar una forma de generar estados con una distribución determinada, se debe utilizar el algoritmo de Metropolis .${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$${\displaystyle p({\vec {r}})}$

Canónico

Debido a que se sabe que los estados más probables son aquellos que maximizan la distribución de Boltzmann, una buena distribución , a elegir para el muestreo de importancia es la distribución de Boltzmann o distribución canónica. Dejar${\displaystyle p({\vec {r}})}$

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}}$

ser la distribución a utilizar. Sustituyendo sobre la suma anterior,

${\displaystyle \langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}}$.

Entonces, el procedimiento para obtener un valor medio de una variable dada, utilizando el algoritmo metropolis, con la distribución canónica, es utilizar el algoritmo Metropolis para generar estados dados por la distribución y realizar medias sobre .${\displaystyle p({\vec {r}})}$${\displaystyle A_{\vec {r}}^{*}}$

Debe tenerse en cuenta una cuestión importante cuando se utiliza el algoritmo de metrópolis con la distribución canónica: al realizar una medida determinada, es decir, la realización de , uno debe asegurarse de que la realización no esté correlacionada con el estado anterior del sistema (de lo contrario, los estados no están siendo " generado aleatoriamente). En sistemas con brechas de energía relevantes, este es el mayor inconveniente del uso de la distribución canónica porque el tiempo necesario para que el sistema se des-correlacione del estado anterior puede tender al infinito.${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$

Multi-canónico

Artículo principal: conjunto multicanónico

Como se indicó anteriormente, el enfoque microcanónico tiene un gran inconveniente, que se vuelve relevante en la mayoría de los sistemas que utilizan la integración de Monte Carlo. Para aquellos sistemas con "paisajes energéticos aproximados", se puede utilizar el enfoque multicanónico.

El enfoque multicanónico utiliza una opción diferente para el muestreo de importancia:

${\displaystyle p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}}$

donde es la densidad de estados del sistema. La principal ventaja de esta elección es que el histograma de energía es plano, es decir, los estados generados se distribuyen por igual en la energía. Esto significa que, cuando se utiliza el algoritmo de Metropolis, la simulación no ve el "paisaje energético aproximado", porque todas las energías se tratan por igual.${\displaystyle \Omega (E)}$

El mayor inconveniente de esta elección es el hecho de que, en la mayoría de los sistemas, se desconoce. Para superar esto, normalmente se utiliza el algoritmo de Wang y Landau para obtener el DOS durante la simulación. Tenga en cuenta que después de que se conoce el DOS, los valores medios de cada variable se pueden calcular para cada temperatura, ya que la generación de estados no depende de .${\displaystyle \Omega (E)}$${\displaystyle \beta }$

Implementación

En esta sección, la implementación se centrará en el modelo Ising . Consideremos una red de espines bidimensionales, con espines L (sitios de celosía) en cada lado. Hay espines de forma natural , por lo que el espacio de fase es discreto y se caracteriza por N espines, donde es el espín de cada sitio de celosía. La energía del sistema está dada por , donde están el conjunto de los primeros espines de vecindad de i y J es la matriz de interacción (para un modelo ferromagnético ising, J es la matriz de identidad). Se plantea el problema.${\displaystyle N=L^{2}}$${\displaystyle {\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})}$${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$${\displaystyle E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})}$${\displaystyle viz_{i}}$

En este ejemplo, el objetivo es obtener y (por ejemplo, obtener la susceptibilidad magnética del sistema) ya que es sencillo generalizar a otros observables. De acuerdo con la definición, .${\displaystyle \langle M\rangle }$${\displaystyle \langle M^{2}\rangle }$${\displaystyle M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}}$

Canónico

Primero, el sistema debe inicializarse: sea ​​la temperatura de Boltzmann del sistema e inicialice el sistema con un estado inicial (que puede ser cualquier cosa ya que el resultado final no debería depender de él).${\displaystyle \beta =1/k_{b}T}$

Con la elección microcanónica, debe emplearse el método de la metrópoli. Debido a que no hay una forma correcta de elegir qué estado se va a elegir, uno puede particularizar y elegir intentar girar un giro a la vez. Esta opción generalmente se llama flip de un solo giro . Se deben realizar los siguientes pasos para realizar una sola medición.

paso 1: generar un estado que siga la distribución:${\displaystyle p({\vec {r}})}$

paso 1.1: Realice TT veces la siguiente iteración:

paso 1.1.1: elija un sitio de celosía al azar (con probabilidad 1 / N), que se llamará i, con giro .${\displaystyle \sigma _{i}}$

paso 1.1.2: elige un número aleatorio .${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

paso 1.1.3: calcula el cambio de energía de intentar voltear el giro i:

${\displaystyle \Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}}$

y su cambio de magnetización: ${\displaystyle \Delta M=-2\sigma _{i}}$

paso 1.1.4: si , gira el giro ( ), de lo contrario, no lo hagas.${\displaystyle \alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})}$${\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{i}}$

1.1.5 paso: actualizar las diversas variables macroscópicas en caso de que el giro volteado: ,${\displaystyle E=E+\Delta E}$${\displaystyle M=M+\Delta M}$

después de TT tiempos, se considera que el sistema no está correlacionado con su estado anterior, lo que significa que, en este momento, la probabilidad de que el sistema esté en un estado dado sigue la distribución de Boltzmann, que es el objetivo propuesto por este método.

paso 2 -> realizar la medición:

paso 2.1: guarde, en un histograma, los valores de M y M ^ 2.

Como nota final, se debe tener en cuenta que TT no es fácil de estimar porque no es fácil decir cuándo el sistema está descorrelacionado con el estado anterior. Para superar este punto, generalmente no se usa un TT fijo, sino TT como tiempo de tunelización . Un tiempo de tunelización se define como el número de pasos 1. que el sistema necesita realizar para pasar del mínimo de su energía al máximo de su energía y regresar.

Un inconveniente importante de este método con la opción de giro de un solo giro en sistemas como el modelo de Ising es que el tiempo de túnel se escala como una ley de potencia cuando z es mayor que 0,5, fenómeno conocido como desaceleración crítica .${\displaystyle N^{2+z}}$

Aplicabilidad

Por tanto, el método descuida la dinámica, que puede ser un gran inconveniente o una gran ventaja. De hecho, el método solo se puede aplicar a cantidades estáticas, pero la libertad de elegir movimientos hace que el método sea muy flexible. Una ventaja adicional es que algunos sistemas, como el modelo de Ising , carecen de una descripción dinámica y solo se definen mediante una prescripción energética; para estos, el enfoque de Monte Carlo es el único factible.

Generalizaciones

El gran éxito de este método en mecánica estadística ha dado lugar a diversas generalizaciones como el método de recocido simulado para optimización, en el que se introduce una temperatura ficticia y luego se baja gradualmente.

Ver también

• Integración de Monte Carlo
• Algoritmo de metrópolis
• Muestreo de importancia
• Montecarlo cuántico
• Modelado molecular de Monte Carlo

Referencias

• Allen, MP y Tildesley, DJ (1987). Simulación informática de líquidos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-855645-4.
• Frenkel, D. y Smit, B. (2001). Comprensión de la simulación molecular . Prensa académica. ISBN 0-12-267351-4.
• Binder, K. y Heermann, DW (2002). Simulación de Monte Carlo en Física Estadística. Una introducción (4ª edición) . Saltador. ISBN 3-540-43221-3.