Método de Montecarlo
Los métodos de Monte Carlo , o experimentos de Monte Carlo , son una amplia clase de algoritmos computacionales que se basan en muestreos aleatorios repetidos para obtener resultados numéricos. El concepto subyacente es utilizar la aleatoriedad para resolver problemas que pueden ser deterministas en principio. A menudo se usan en problemas físicos y matemáticos y son más útiles cuando es difícil o imposible usar otros enfoques. Los métodos de Monte Carlo se utilizan principalmente en tres clases de problemas: [1] optimización , integración numérica y generación de sorteos a partir de una distribución de probabilidad .
En problemas relacionados con la física, los métodos de Monte Carlo son útiles para simular sistemas con muchos grados de libertad acoplados , como fluidos, materiales desordenados, sólidos fuertemente acoplados y estructuras celulares (consulte el modelo celular de Potts , los sistemas de partículas que interactúan , los procesos de McKean-Vlasov , modelos cinéticos de gases ).
Otros ejemplos incluyen el modelado de fenómenos con una incertidumbre significativa en las entradas, como el cálculo del riesgo en los negocios y, en matemáticas, la evaluación de integrales definidas multidimensionales con condiciones de contorno complicadas . En la aplicación a problemas de ingeniería de sistemas (espacio, exploración de petróleo , diseño de aeronaves, etc.), las predicciones de fallas, los sobrecostos y los sobrecostos de programación basados en Monte Carlo son habitualmente mejores que la intuición humana o los métodos "suaves" alternativos. [2]
En principio, los métodos de Monte Carlo se pueden utilizar para resolver cualquier problema que tenga una interpretación probabilística. Por la ley de los grandes números , las integrales descritas por el valor esperado de alguna variable aleatoria se pueden aproximar tomando la media empírica (también conocida como la media muestral) de muestras independientes de la variable. Cuando se parametriza la distribución de probabilidad de la variable, los matemáticos suelen utilizar un muestreador Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC). [3] [4] [5] La idea central es diseñar un modelo juicioso de cadena de Markov con una distribución de probabilidad estacionaria prescrita. Es decir, en el límite, las muestras generadas por el método MCMC serán muestras de la distribución deseada (objetivo). [6] [7] Por el teorema ergódico , la distribución estacionaria se aproxima mediante las medidas empíricas de los estados aleatorios del muestreador MCMC.
En otros problemas, el objetivo es generar sorteos a partir de una secuencia de distribuciones de probabilidad que satisfagan una ecuación de evolución no lineal. Estos flujos de distribuciones de probabilidad siempre se pueden interpretar como las distribuciones de los estados aleatorios de un proceso de Markov cuyas probabilidades de transición dependen de las distribuciones de los estados aleatorios actuales (ver procesos de McKean-Vlasov , ecuación de filtrado no lineal ). [8] [9]En otros casos, se nos proporciona un flujo de distribuciones de probabilidad con un nivel creciente de complejidad de muestreo (modelos de espacios de trayectoria con un horizonte temporal creciente, medidas de Boltzmann-Gibbs asociadas con parámetros de temperatura decrecientes y muchos otros). Estos modelos también pueden verse como la evolución de la ley de los estados aleatorios de una cadena de Markov no lineal. [9] [10] Una forma natural de simular estos sofisticados procesos no lineales de Markov es muestrear múltiples copias del proceso, reemplazando en la ecuación de evolución las distribuciones desconocidas de los estados aleatorios por las medidas empíricas muestreadas . En contraste con las metodologías tradicionales de Monte Carlo y MCMC, estas partículas de campo medioLas técnicas se basan en muestras secuenciales que interactúan. La terminología campo medio refleja el hecho de que cada una de las muestras (también conocidas como partículas, individuos, caminantes, agentes, criaturas o fenotipos) interactúa con las medidas empíricas del proceso. Cuando el tamaño del sistema tiende a infinito, estas medidas empíricas aleatorias convergen a la distribución determinista de los estados aleatorios de la cadena de Markov no lineal, de modo que la interacción estadística entre partículas desaparece.
