En mecánica continua , un sólido de Mooney-Rivlin [1] [2] es un modelo de material hiperelástico donde la función de densidad de energía de deformación W {\ Displaystyle W \,} es una combinación lineal de dos invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo B {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}} . El modelo fue propuesto por Melvin Mooney en 1940 y expresado en términos de invariantes por Ronald Rivlin en 1948.
La función de densidad de energía de deformación para un material incompresible de Mooney-Rivlin es [3] [4]
W = C 1 ( I ¯ 1 - 3 ) + C 2 ( I ¯ 2 - 3 ) , {\ Displaystyle W = C_ {1} ({\ bar {I}} _ {1} -3) + C_ {2} ({\ bar {I}} _ {2} -3), \,} dónde C 1 {\ Displaystyle C_ {1}} y C 2 {\ Displaystyle C_ {2}} son constantes materiales determinadas empíricamente, y I ¯ 1 {\ displaystyle {\ bar {I}} _ {1}} y I ¯ 2 {\ Displaystyle {\ bar {I}} _ {2}} son la primera y la segunda invariantes de B ¯ = ( det B ) - 1 / 3 B {\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {B}}} = (\ det {\ boldsymbol {B}}) ^ {- 1/3} {\ boldsymbol {B}}} (el componente unimodular de B {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}} [5] ):
I ¯ 1 = J - 2 / 3 I 1 , I 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 , I ¯ 2 = J - 4 / 3 I 2 , I 2 = λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 {\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ bar {I}} _ {1} & = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1}, \ quad I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2}, \\ {\ bar {I}} _ {2} & = J ^ {- 4/3} ~ I_ {2}, \ quad I_ {2} = \ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} \ lambda _ {3} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} \ lambda _ {1} ^ {2} \ end {alineado}}} dónde F {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}} es el gradiente de deformación y J = det ( F ) = λ 1 λ 2 λ 3 {\ Displaystyle J = \ det ({\ boldsymbol {F}}) = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3}} . Para un material incompresible , J = 1 {\ Displaystyle J = 1} .
Derivación El modelo de Mooney-Rivlin es un caso especial del modelo de Rivlin generalizado (también llamado modelo polinomial hiperelástico [6] ) que tiene la forma
W = ∑ pag , q = 0 norte C pag q ( I ¯ 1 - 3 ) pag ( I ¯ 2 - 3 ) q + ∑ metro = 1 METRO D metro ( J - 1 ) 2 metro {\ Displaystyle W = \ sum _ {p, q = 0} ^ {N} C_ {pq} ({\ bar {I}} _ {1} -3) ^ {p} ~ ({\ bar {I} } _ {2} -3) ^ {q} + \ sum _ {m = 1} ^ {M} D_ {m} ~ (J-1) ^ {2m}} con C 00 = 0 {\ Displaystyle C_ {00} = 0} dónde C pag q {\ Displaystyle C_ {pq}} son constantes materiales relacionadas con la respuesta distorsionante y D metro {\ Displaystyle D_ {m}} son constantes materiales relacionadas con la respuesta volumétrica. Para un material Mooney-Rivlin comprimible norte = 1 , C 01 = C 2 , C 11 = 0 , C 10 = C 1 , METRO = 1 {\ Displaystyle N = 1, C_ {01} = C_ {2}, C_ {11} = 0, C_ {10} = C_ {1}, M = 1} y tenemos
W = C 01 ( I ¯ 2 - 3 ) + C 10 ( I ¯ 1 - 3 ) + D 1 ( J - 1 ) 2 {\ Displaystyle W = C_ {01} ~ ({\ bar {I}} _ {2} -3) + C_ {10} ~ ({\ bar {I}} _ {1} -3) + D_ {1 } ~ (J-1) ^ {2}} Si C 01 = 0 {\ Displaystyle C_ {01} = 0} obtenemos un sólido neohookeano , un caso especial de un sólido Mooney-Rivlin .
Para lograr coherencia con la elasticidad lineal en el límite de pequeñas deformaciones , es necesario que
κ = 2 ⋅ D 1 ; μ = 2 ( C 01 + C 10 ) {\ Displaystyle \ kappa = 2 \ cdot D_ {1} ~; ~~ \ mu = 2 ~ (C_ {01} + C_ {10})} dónde κ {\ Displaystyle \ kappa} es el módulo de volumen y μ {\ Displaystyle \ mu} es el módulo de corte .
Esfuerzo de Cauchy en términos de invariantes de deformación y tensores de deformación La tensión de Cauchy en un material hiperelástico compresible con una configuración de referencia libre de tensión viene dada por
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B - 1 J 4 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ W ∂ J - 2 3 J ( I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) ] I {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfrac {2} {J}} \ left [{\ cfrac {1} {J ^ {2/3}}} \ left ({\ cfrac {\ partial {W}} {\ parcial {\ bar {I}} _ {1}}} + {\ bar {I}} _ {1} ~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial {\ bar { I}} _ {2}}} \ right) {\ boldsymbol {B}} - {\ cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ {\ cfrac {\ partial {W}} {\ partial {\ bar {I}} _ {2}}} ~ {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ right] + \ left [{\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial J}} - {\ cfrac {2} {3J}} \ left ({\ bar {I}} _ {1} ~ {\ cfrac {\ partial {W}} {\ partial {\ bar {I}} _ {1}}} + 2 ~ {\ bar {I}} _ {2} ~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial {\ bar {I}} _ {2}}} \ derecha) \ derecha] ~ {\ boldsymbol {I}}} Para un material Mooney-Rivlin comprimible,
∂ W ∂ I ¯ 1 = C 1 ; ∂ W ∂ I ¯ 2 = C 2 ; ∂ W ∂ J = 2 D 1 ( J - 1 ) {\ estilo de visualización {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial {\ bar {I}} _ {1}}} = C_ {1} ~; ~~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial {\ bar {I}} _ {2}}} = C_ {2} ~; ~~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial J}} = 2D_ {1} (J-1)} Por lo tanto, la tensión de Cauchy en un material Mooney-Rivlin comprimible está dada por
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B - 1 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B ] + [ 2 D 1 ( J - 1 ) - 2 3 J ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) ] I {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ cfrac {2} {J}} \ left [{\ cfrac {1} {J ^ {2/3}}} \ left (C_ {1} + { \ bar {I}} _ {1} ~ C_ {2} \ right) {\ boldsymbol {B}} - {\ cfrac {1} {J ^ {4/3}}} ~ C_ {2} ~ {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ right] + \ left [2D_ {1} (J-1) - {\ cfrac {2} {3J}} \ left (C_ {1} {\ barra {I}} _ {1} + 2C_ {2} {\ bar {I}} _ {2} ~ \ derecha) \ derecha] {\ boldsymbol {I}}} Se puede demostrar, después de un poco de álgebra, que la presión viene dada por
pag : = - 1 3 tr ( σ ) = - ∂ W ∂ J = - 2 D 1 ( J - 1 ) . {\ Displaystyle p: = - {\ tfrac {1} {3}} \, {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = - {\ frac {\ parcial W} {\ parcial J }} = - 2D_ {1} (J-1) \ ,.} El estrés puede entonces expresarse en la forma
σ = - pag I + 1 J [ 2 J 2 / 3 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B - 2 J 4 / 3 C 2 B ⋅ B - 2 3 ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) I ] . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p ~ {\ boldsymbol {I}} + {\ cfrac {1} {J}} \ left [{\ cfrac {2} {J ^ {2/3} }} \ left (C_ {1} + {\ bar {I}} _ {1} ~ C_ {2} \ right) {\ boldsymbol {B}} - {\ cfrac {2} {J ^ {4/3 }}} ~ C_ {2} ~ {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} - {\ cfrac {2} {3}} \ left (C_ {1} \, {\ bar {I }} _ {1} + 2C_ {2} \, {\ bar {I}} _ {2} \ right) {\ boldsymbol {I}} \ right] \ ,.} La ecuación anterior a menudo se escribe usando el tensor unimodular B ¯ = J - 2 / 3 B {\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {B}}} = J ^ {- 2/3} \, {\ boldsymbol {B}}} :
σ = - pag I + 1 J [ 2 ( C 1 + I ¯ 1 C 2 ) B ¯ - 2 C 2 B ¯ ⋅ B ¯ - 2 3 ( C 1 I ¯ 1 + 2 C 2 I ¯ 2 ) I ] . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p ~ {\ boldsymbol {I}} + {\ cfrac {1} {J}} \ left [2 \ left (C_ {1} + {\ bar {I }} _ {1} ~ C_ {2} \ right) {\ bar {\ boldsymbol {B}}} - 2 ~ C_ {2} ~ {\ bar {\ boldsymbol {B}}} \ cdot {\ bar { \ boldsymbol {B}}} - {\ cfrac {2} {3}} \ left (C_ {1} \, {\ bar {I}} _ {1} + 2C_ {2} \, {\ bar {I }} _ {2} \ right) {\ boldsymbol {I}} \ right] \ ,.} Para un material incompresible de Mooney-Rivlin con J = 1 {\ Displaystyle J = 1} hay aguanta pag = 0 {\ Displaystyle p = 0} y B ¯ = B {\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {B}}} = {\ boldsymbol {B}}} . Por lo tanto
σ = 2 ( C 1 + I 1 C 2 ) B - 2 C 2 B ⋅ B - 2 3 ( C 1 I 1 + 2 C 2 I 2 ) I . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = 2 \ left (C_ {1} + I_ {1} ~ C_ {2} \ right) {\ boldsymbol {B}} - 2C_ {2} ~ {\ boldsymbol { B}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} - {\ cfrac {2} {3}} \ left (C_ {1} \, I_ {1} + 2C_ {2} \, I_ {2} \ right) {\ boldsymbol {I}} \ ,.} Desde det J = 1 {\ Displaystyle \ det J = 1} el teorema de Cayley-Hamilton implica
B - 1 = B ⋅ B - I 1 B + I 2 I . {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} ^ {- 1} = {\ boldsymbol {B}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} - I_ {1} ~ {\ boldsymbol {B}} + I_ {2} ~ {\ boldsymbol {I}}.} Por tanto, la tensión de Cauchy se puede expresar como
σ = - pag ∗ I + 2 C 1 B - 2 C 2 B - 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p ^ {*} ~ {\ boldsymbol {I}} + 2C_ {1} ~ {\ boldsymbol {B}} - 2C_ {2} ~ {\ boldsymbol {B }} ^ {- 1}} dónde pag ∗ : = 2 3 ( C 1 I 1 - C 2 I 2 ) . {\ Displaystyle p ^ {*}: = {\ tfrac {2} {3}} (C_ {1} ~ I_ {1} -C_ {2} ~ I_ {2}). \,}
Estrés de Cauchy en términos de tramos principales En términos de los tramos principales , las diferencias de tensión de Cauchy para un material hiperelástico incompresible están dadas por
σ 11 - σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 - λ 3 ∂ W ∂ λ 3 ; σ 22 - σ 33 = λ 2 ∂ W ∂ λ 2 - λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\ estilo de visualización \ sigma _ {11} - \ sigma _ {33} = \ lambda _ {1} ~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {1}}} - \ lambda _ { 3} ~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {3}}} ~; ~~ \ sigma _ {22} - \ sigma _ {33} = \ lambda _ {2} ~ { \ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {2}}} - \ lambda _ {3} ~ {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {3}}}} Para un material incompresible de Mooney-Rivlin,
W = C 1 ( λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 - 3 ) + C 2 ( λ 1 2 λ 2 2 + λ 2 2 λ 3 2 + λ 3 2 λ 1 2 - 3 ) ; λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {\ Displaystyle W = C_ {1} (\ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} -3) + C_ {2} (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} \ lambda _ {3} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} \ lambda _ {1} ^ {2} -3) ~; ~~ \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} = 1} Por lo tanto,
λ 1 ∂ W ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 λ 1 2 ( λ 2 2 + λ 3 2 ) ; λ 2 ∂ W ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 λ 2 2 ( λ 1 2 + λ 3 2 ) ; λ 3 ∂ W ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 λ 3 2 ( λ 1 2 + λ 2 2 ) {\ Displaystyle \ lambda _ {1} {\ cfrac {\ partial {W}} {\ partial \ lambda _ {1}}} = 2C_ {1} \ lambda _ {1} ^ {2} + 2C_ {2} \ lambda _ {1} ^ {2} (\ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2}) ~; ~~ \ lambda _ {2} {\ cfrac {\ parcial { W}} {\ parcial \ lambda _ {2}}} = 2C_ {1} \ lambda _ {2} ^ {2} + 2C_ {2} \ lambda _ {2} ^ {2} (\ lambda _ {1 } ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2}) ~; ~~ \ lambda _ {3} {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {3}}} = 2C_ {1} \ lambda _ {3} ^ {2} + 2C_ {2} \ lambda _ {3} ^ {2} (\ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} )} Desde λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ lambda _ {3} = 1} . podemos escribir
λ 1 ∂ W ∂ λ 1 = 2 C 1 λ 1 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 2 2 ) ; λ 2 ∂ W ∂ λ 2 = 2 C 1 λ 2 2 + 2 C 2 ( 1 λ 3 2 + 1 λ 1 2 ) λ 3 ∂ W ∂ λ 3 = 2 C 1 λ 3 2 + 2 C 2 ( 1 λ 2 2 + 1 λ 1 2 ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ lambda _ {1} {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {1}}} & = 2C_ {1} \ lambda _ {1} ^ { 2} + 2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda _ {3} ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {\ lambda _ {2} ^ {2}}} \ derecha) ~; ~~ \ lambda _ {2} {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {2}}} = 2C_ {1} \ lambda _ {2} ^ {2} + 2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda _ {3} ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {\ lambda _ {1} ^ {2}}} \ right) \\ \ lambda _ {3} {\ cfrac {\ parcial {W}} {\ parcial \ lambda _ {3}}} & = 2C_ {1} \ lambda _ {3} ^ {2} + 2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda _ {2} ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {\ lambda _ {1} ^ {2}}} \ right) \ end {alineado}}} Entonces las expresiones para las diferencias de estrés de Cauchy se vuelven
σ 11 - σ 33 = 2 C 1 ( λ 1 2 - λ 3 2 ) - 2 C 2 ( 1 λ 1 2 - 1 λ 3 2 ) ; σ 22 - σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 2 - λ 3 2 ) - 2 C 2 ( 1 λ 2 2 - 1 λ 3 2 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {11} - \ sigma _ {33} = 2C_ {1} (\ lambda _ {1} ^ {2} - \ lambda _ {3} ^ {2}) - 2C_ {2} \ izquierda ({\ cfrac {1} {\ lambda _ {1} ^ {2}}} - {\ cfrac {1} {\ lambda _ {3} ^ {2}}} \ right) ~; ~~ \ sigma _ {22} - \ sigma _ {33} = 2C_ {1} (\ lambda _ {2} ^ {2} - \ lambda _ {3} ^ {2}) - 2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda _ {2} ^ {2}}} - {\ cfrac {1} {\ lambda _ {3} ^ {2}}} \ right)}
Extensión uniaxial
Tensión equibiaxial En el caso de la tensión equibiaxial, los principales tramos son λ 1 = λ 2 = λ {\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2} = \ lambda} . Si, además, el material es incompresible, entonces λ 3 = 1 / λ 2 {\ Displaystyle \ lambda _ {3} = 1 / \ lambda ^ {2}} . Por tanto, las diferencias de tensión de Cauchy pueden expresarse como
σ 11 - σ 33 = σ 22 - σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 - 1 λ 4 ) - 2 C 2 ( 1 λ 2 - λ 4 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {11} - \ sigma _ {33} = \ sigma _ {22} - \ sigma _ {33} = 2C_ {1} \ left (\ lambda ^ {2} - {\ cfrac {1 } {\ lambda ^ {4}}} \ right) -2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} - \ lambda ^ {4} \ right)} Las ecuaciones para la tensión equibiaxial son equivalentes a las que rigen la compresión uniaxial.
Pura cizalla Se puede lograr una deformación por cizallamiento puro aplicando tramos de la forma [7]
λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 {\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda ~; ~~ \ lambda _ {2} = {\ cfrac {1} {\ lambda}} ~; ~~ \ lambda _ {3} = 1} Por lo tanto, las diferencias de tensión de Cauchy para cortante puro pueden expresarse como
σ 11 - σ 33 = 2 C 1 ( λ 2 - 1 ) - 2 C 2 ( 1 λ 2 - 1 ) ; σ 22 - σ 33 = 2 C 1 ( 1 λ 2 - 1 ) - 2 C 2 ( λ 2 - 1 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {11} - \ sigma _ {33} = 2C_ {1} (\ lambda ^ {2} -1) -2C_ {2} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda ^ { 2}}} - 1 \ right) ~; ~~ \ sigma _ {22} - \ sigma _ {33} = 2C_ {1} \ left ({\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} - 1 \ right) -2C_ {2} (\ lambda ^ {2} -1)} Por lo tanto
σ 11 - σ 22 = 2 ( C 1 + C 2 ) ( λ 2 - 1 λ 2 ) {\ Displaystyle \ sigma _ {11} - \ sigma _ {22} = 2 (C_ {1} + C_ {2}) \ left (\ lambda ^ {2} - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ { 2}}} \ derecha)} Para una deformación por cizallamiento pura
I 1 = λ 1 2 + λ 2 2 + λ 3 2 = λ 2 + 1 λ 2 + 1 ; I 2 = 1 λ 1 2 + 1 λ 2 2 + 1 λ 3 2 = 1 λ 2 + λ 2 + 1 {\ Displaystyle I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = \ lambda ^ {2} + {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} + 1 ~; ~~ I_ {2} = {\ cfrac {1} {\ lambda _ {1} ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {\ lambda _ {2} ^ {2}}} + {\ cfrac {1} {\ lambda _ {3} ^ {2}}} = {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} + \ lambda ^ {2} +1} Por lo tanto I 1 = I 2 {\ Displaystyle I_ {1} = I_ {2}} .
Cizalla simple El gradiente de deformación para una deformación de corte simple tiene la forma [7]
F = 1 + γ mi 1 ⊗ mi 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {1}} + \ gamma ~ \ mathbf {e} _ {1} \ otimes \ mathbf {e} _ {2}} dónde mi 1 , mi 2 {\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}} son vectores de base ortonormales de referencia en el plano de deformación y la deformación por cortante está dada por
γ = λ - 1 λ ; λ 1 = λ ; λ 2 = 1 λ ; λ 3 = 1 {\ Displaystyle \ gamma = \ lambda - {\ cfrac {1} {\ lambda}} ~; ~~ \ lambda _ {1} = \ lambda ~; ~~ \ lambda _ {2} = {\ cfrac {1} {\ lambda}} ~; ~~ \ lambda _ {3} = 1} En forma de matriz, el gradiente de deformación y el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo se pueden expresar como
F = [ 1 γ 0 0 1 0 0 0 1 ] ; B = F ⋅ F T = [ 1 + γ 2 γ 0 γ 1 0 0 0 1 ] {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ begin {bmatrix} 1 & \ gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} ~; ~~ {\ boldsymbol {B}} = {\ boldsymbol {F }} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} = {\ begin {bmatrix} 1+ \ gamma ^ {2} & \ gamma & 0 \\\ gamma & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}} Por lo tanto,
B - 1 = [ 1 - γ 0 - γ 1 + γ 2 0 0 0 1 ] {\ displaystyle {\ boldsymbol {B}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} 1 & - \ gamma & 0 \\ - \ gamma & 1 + \ gamma ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}} El estrés de Cauchy está dado por
σ = [ - pag ∗ + 2 ( C 1 - C 2 ) + 2 C 1 γ 2 2 ( C 1 + C 2 ) γ 0 2 ( C 1 + C 2 ) γ - pag ∗ + 2 ( C 1 - C 2 ) - 2 C 2 γ 2 0 0 0 - pag ∗ + 2 ( C 1 - C 2 ) ] {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ begin {bmatrix} -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) + 2C_ {1} \ gamma ^ {2} & 2 ( C_ {1} + C_ {2}) \ gamma & 0 \\ 2 (C_ {1} + C_ {2}) \ gamma & -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) - 2C_ {2} \ gamma ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & -p ^ {*} + 2 (C_ {1} -C_ {2}) \ end {bmatrix}}} Para mantener la coherencia con la elasticidad lineal, claramente μ = 2 ( C 1 + C 2 ) {\ Displaystyle \ mu = 2 (C_ {1} + C_ {2})} dónde μ {\ Displaystyle \ mu} es el módulo de corte.
Goma La respuesta elástica de materiales similares al caucho a menudo se modela según el modelo de Mooney-Rivlin. Las constantes C 1 , C 2 {\ Displaystyle C_ {1}, C_ {2}} se determinan ajustando la tensión predicha de las ecuaciones anteriores a los datos experimentales. Las pruebas recomendadas son tensión uniaxial, compresión equibiaxial, tensión equibiaxial, compresión uniaxial y de cortante, tensión plana y compresión plana. El modelo de Mooney-Rivlin de dos parámetros suele ser válido para cepas inferiores al 100%.
[8]
notas y referencias ^ Mooney, M., 1940, Una teoría de la gran deformación elástica , Journal of Applied Physics, 11 (9), págs. 582–592. ^ Rivlin, RS, 1948, Grandes deformaciones elásticas de materiales isotrópicos. IV. Nuevos desarrollos de la teoría general , Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Físicas y Matemáticas, 241 (835), págs. 379–397. ^ Boulanger, P. y Hayes, MA, 2001, "Ondas de amplitud finita en materiales de Mooney-Rivlin y Hadamard", en Topics in Finite Elasticity , ed. M. A Hayes y G. Soccomandi, Centro Internacional de Ciencias Mecánicas. ^ CW Macosko, 1994, Reología: principios, medición y aplicaciones , VCH Publishers, ISBN 1-56081-579-5 . ^ Unimodularidad en este contexto significa det B ¯ = 1 {\ Displaystyle \ det {\ bar {\ boldsymbol {B}}} = 1} . ^ Bower, Allan (2009). Mecánica Aplicada de Sólidos . Prensa CRC. ISBN 1-4398-0247-5 . Consultado el 19 de abril de 2018 . ^ a b Ogden, RW, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , Dover ^ Hamza, Muhsin; Alwan, Hassan (2010). "Modelado constitutivo hiperelástico de caucho y materiales similares al caucho bajo deformación finita" . Ing. & Tech. Diario . 28 (13): 2560-2575.
Ver también Material hiperelástico Teoría de la deformación finita Mecánica de Medios Continuos Función de densidad de energía de deformación Nota de aplicación sobre la determinación experimental de las constantes de Mooney Rivlin