En matemáticas , el operador de composición con símbolo es un operador lineal definido por la regla
dónde denota composición de funciones .
El estudio de los operadores de composición está cubierto por la categoría AMS 47B33 .
En física
En física , y especialmente en el área de los sistemas dinámicos , el operador de composición generalmente se conoce como el operador de Koopman [1] [2] (y su enorme aumento de popularidad [3] a veces se llama en broma "Koopmania" [4] ). nombrado en honor a Bernard Koopman . Es el adjunto a la izquierda del operador de transferencia de Frobenius-Perron.
En cálculo funcional de Borel
Usando el lenguaje de la teoría de categorías , el operador de composición es un retroceso en el espacio de funciones mensurables ; es adjunto al operador de transferencia de la misma manera que el retroceso es adjunto al empuje hacia adelante ; el operador de composición es el functor de imagen inverso .
Dado que el dominio considerado aquí es el de las funciones de Borel , lo anterior describe el operador de Koopman tal como aparece en el cálculo funcional de Borel .
En cálculo funcional holomórfico
El dominio de un operador de composición se puede tomar de manera más estrecha, como un espacio de Banach , que a menudo consta de funciones holomórficas : por ejemplo, algún espacio de Hardy o espacio de Bergman . En este caso, el operador de composición se encuentra en el ámbito de algún cálculo funcional , como el cálculo funcional holomórfico .
Las preguntas interesantes que se plantean en el estudio de los operadores de composición a menudo se relacionan con cómo las propiedades espectrales del operador dependen del espacio funcional . Otras preguntas incluyen sies compacto o de clase traza ; las respuestas suelen depender de cómo se comporta la función φ en el límite de algún dominio.
Cuando el operador de transferencia es un operador de desplazamiento a la izquierda , el operador de Koopman, como su adjunto, puede tomarse como el operador de desplazamiento a la derecha. Una base apropiada, que manifiesta explícitamente el desplazamiento, a menudo se puede encontrar en los polinomios ortogonales . Cuando estos son ortogonales en la recta numérica real, el desplazamiento lo da el operador de Jacobi . [5] Cuando los polinomios son ortogonales en alguna región del plano complejo (es decir, en el espacio de Bergman ), el operador de Jacobi es reemplazado por un operador de Hessenberg . [6]
Aplicaciones
En matemáticas, los operadores de composición ocurren comúnmente en el estudio de los operadores de turno , por ejemplo, en el teorema de Beurling-Lax y la descomposición de Wold . Los operadores de cambio se pueden estudiar como rejillas de espín unidimensionales . Los operadores de composición aparecen en la teoría de las medidas de Aleksandrov-Clark .
La ecuación de valor propio del operador de composición es la ecuación de Schröder , y la función propia principal f (x) a menudo se denomina función de Schröder o función de Koenigs .
Ver también
- Operador de multiplicación
- Anillo de composición
- Matriz de Carleman
Referencias
- ^ Koopman, BO (1931). "Sistemas hamiltonianos y transformación en el espacio de Hilbert" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 17 (5): 315–318. Código Bibliográfico : 1931PNAS ... 17..315K . doi : 10.1073 / pnas.17.5.315 . PMC 1076052 . PMID 16577368 .
- ^ Gaspard, Pierre (1998). Caos, dispersión y mecánica estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / CBO9780511628856 . ISBN 978-0-511-62885-6.
- ^ Budišić, Marko, Ryan Mohr e Igor Mezić. "Koopmanismo aplicado". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal 22, no. 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195
- ^ Shervin Predrag Cvitanović, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri, Gregor Tanner, Gábor Vattay, Niall Whelan y Andreas Wirzba, Chaos: Classical and Quantum Apéndice H versión 15.9, (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure .pdf
- ^ Gerald Teschl, "Operadores de Jacobi y celosías no lineales completamente integrables" (2000) Sociedad matemática estadounidense. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdfISBN 978-0-8218-1940-1
- ^ Tomeo, V .; Torrano, E. (2011). "Dos aplicaciones de la subnormalidad de la matriz de Hessenberg relacionadas con polinomios ortogonales generales" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016 / j.laa.2011.04.027 .
- CC Cowen y BD MacCluer , Operadores de composición en espacios de funciones analíticas . Estudios de Matemática Avanzada. CRC Press, Boca Raton, Florida, 1995. xii + 388 págs. ISBN 0-8493-8492-3 .
- JH Shapiro , Operadores de composición y teoría clásica de funciones. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, Nueva York, 1993. xvi + 223 págs. ISBN 0-387-94067-7 .