En matemáticas, una cascada multiplicativa [1] [2] es una distribución fractal / multifractal de puntos producida mediante un proceso aleatorio iterativo y multiplicativo .
Modelo I (gráfico de la izquierda):
Modelo II (parcela intermedia):
Modelo III (gráfico de la derecha):
Los gráficos anteriores son ejemplos de multifractales en cascada multiplicativa. Para crear estas distribuciones, se deben seguir algunos pasos. En primer lugar, debemos crear una red de celdas que será nuestro campo de densidad de probabilidad subyacente.
En segundo lugar, se sigue un proceso iterativo para crear múltiples niveles de la red: en cada iteración, las celdas se dividen en cuatro partes iguales (celdas). A cada nueva celda se le asigna una probabilidad aleatoria del conjunto sin recambio, donde . Este proceso continúa hasta el nivel N- ésimo. Por ejemplo, al construir un modelo de este tipo hasta el nivel 8, producimos una matriz de 4 8 celdas.
En tercer lugar, las celdas se llenan de la siguiente manera: Tomamos la probabilidad de que una celda esté ocupada como el producto del propio p i de la celda y los de todos sus padres (hasta el nivel 1). Un esquema de rechazo Monte Carlo se utiliza repetidamente hasta que se obtiene la población de células deseada, como sigue: x y Y coordenadas de la celda se eligen al azar, y se le asigna un número aleatorio entre 0 y 1; la celda ( x , y ) se completa dependiendo de si el número asignado es menor que (resultado: no poblado) o mayor o igual que (resultado: poblado) la probabilidad de ocupación de la celda.
Para producir las gráficas de arriba, llenamos el campo de densidad de probabilidad con 5,000 puntos en un espacio de 256 × 256.
Un ejemplo del campo de densidad de probabilidad:
Los fractales generalmente no son invariantes en escala y, por lo tanto, no pueden considerarse fractales estándar . Sin embargo, pueden considerarse multifractales . Las dimensiones de Rényi (generalizadas) se pueden predecir teóricamente. Se puede demostrar [3] que como,
donde N es el nivel de refinamiento de la cuadrícula y,
Ver también
Referencias
- ^ Meakin, Paul (septiembre de 1987). "Agregación limitada por difusión en redes multifractales: un modelo para el desplazamiento fluido-fluido en medios porosos" . Physical Review A . 36 (6): 2833–2837. doi : 10.1103 / PhysRevA.36.2833 . PMID 9899187 .
- ^ Cristano G. Sabiu, Luis Teodoro, Martin Hendry, arXiv: 0803.3212v1 Resolviendo el universo con multifractales
- ^ Martínez y col. ApJ 357 50M "Paradigmas de agrupamiento y medidas multifractales" [1]