La radiación multipolar es un marco teórico para la descripción de la radiación electromagnética o gravitacional de distribuciones dependientes del tiempo de fuentes distantes. Estas herramientas se aplican a fenómenos físicos que ocurren en una variedad de escalas de longitud, desde ondas gravitacionales debidas a colisiones de galaxias hasta radiación gamma resultante de la desintegración nuclear . [1] [2] [3] La radiación multipolar se analiza utilizando una expansión multipolar similartécnicas que describen campos de fuentes estáticas, sin embargo, existen diferencias importantes en los detalles del análisis porque los campos de radiación multipolares se comportan de manera bastante diferente a los campos estáticos. Este artículo se ocupa principalmente de la radiación electromagnética multipolar, aunque el tratamiento de las ondas gravitacionales es similar.
La radiación electromagnética depende de los detalles estructurales del sistema fuente de carga eléctrica y corriente eléctrica . El análisis directo puede resultar intratable si la estructura es desconocida o complicada. El análisis multipolar ofrece una forma de separar la radiación en momentos de complejidad creciente. Dado que el campo electromagnético depende más de momentos de orden inferior que de momentos de orden superior, el campo electromagnético puede aproximarse sin conocer la estructura en detalle.
Propiedades de la radiación multipolar
Linealidad de momentos
Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales, el campo eléctrico y el campo magnético dependen linealmente de las distribuciones de la fuente. La linealidad permite que los campos de varios momentos multipolares se calculen de forma independiente y se sumen para obtener el campo total del sistema. Este es el conocido principio de superposición .
Dependencia del origen de momentos multipolares
Los momentos multipolares se calculan con respecto a un punto de expansión fijo que se toma como el origen de un sistema de coordenadas dado. La traducción del origen cambia los momentos multipolares del sistema con la excepción del primer momento de no desvanecimiento. [4] [5] Por ejemplo, el momento de carga monopolo es simplemente la carga total en el sistema. Cambiar el origen nunca cambiará este momento. Si el momento monopolo es cero, entonces el momento dipolar del sistema será invariante en traslación. Si tanto el momento monopolo como el dipolo son cero, entonces el momento cuadripolar es invariante en traslación, y así sucesivamente. Dado que los momentos de orden superior dependen de la posición del origen, no pueden considerarse propiedades invariantes del sistema.
Dependencia del campo en la distancia
El campo de un momento multipolar depende tanto de la distancia desde el origen como de la orientación angular del punto de evaluación con respecto al sistema de coordenadas. [4] En particular, la dependencia radial del campo electromagnético de un estacionario-escamas de poste como . [2] Es decir, el campo eléctrico del momento monopolo eléctrico se escala como distancia inversa al cuadrado. Asimismo, el momento dipolar eléctrico crea un campo que se escala como distancia inversa al cubo, y así sucesivamente. A medida que aumenta la distancia, la contribución de los momentos de orden superior se vuelve mucho menor que la contribución de los momentos de orden inferior, por lo que los momentos de orden superior se pueden ignorar para simplificar los cálculos.
La dependencia radial de las ondas de radiación es diferente de los campos estáticos porque estas ondas transportan energía fuera del sistema. Dado que la energía debe conservarse, el análisis geométrico simple muestra que la densidad de energía de la radiación esférica, radio, debe escalar como . A medida que una onda esférica se expande, la energía fija de la onda debe extenderse sobre una esfera de superficie en expansión.. En consecuencia, cada momento multipolar dependiente del tiempo debe contribuir a una densidad de energía radiante que se escala como, independientemente del orden del momento. Por tanto, los momentos de orden superior no se pueden descartar tan fácilmente como en el caso estático. Aun así, los coeficientes multipolares de un sistema generalmente disminuyen con el orden creciente, generalmente como, por lo que los campos de radiación aún se pueden aproximar truncando los momentos de alto orden. [5]
Campos electromagnéticos dependientes del tiempo
Fuentes
Las distribuciones de fuentes dependientes del tiempo se pueden expresar mediante el análisis de Fourier . Esto permite analizar frecuencias separadas de forma independiente. La densidad de carga viene dada por
Por conveniencia, solo se considera una única frecuencia angular ω a partir de este punto; por lo tanto
El principio de superposición se puede aplicar para generalizar resultados para múltiples frecuencias. [5] Las cantidades vectoriales aparecen en negrita. Se utiliza la convención estándar de tomar la parte real de cantidades complejas para representar cantidades físicas.
El momento angular intrínseco de las partículas elementales (ver Spin (física) ) también puede afectar la radiación electromagnética de algunos materiales fuente. Para tener en cuenta estos efectos, la magnetización intrínseca del sistemahabría que tenerlo en cuenta. Sin embargo, por simplicidad, estos efectos se aplazarán a la discusión de la radiación multipolar generalizada.
En estas fórmulas c es la velocidad de la luz en el vacío,es la función delta de Dirac , yes la distancia euclidiana desde el punto de origen x ′ al punto de evaluación x . Integrar las distribuciones de fuentes dependientes del tiempo por encima de los rendimientos
donde k = ω / c . Estas fórmulas proporcionan la base para analizar la radiación multipolar.
Expansión multipolar en campo cercano
El campo cercano es la región alrededor de una fuente donde el campo electromagnético se puede evaluar cuasi-estáticamente. Si la distancia objetivo desde el origen multipolar es mucho más pequeño que la longitud de onda de la radiación , luego . Como resultado, la exponencial se puede aproximar en esta región como:
Ver expansión de Taylor . Al usar esta aproximación, la dependencia x ′ restante es la misma que para un sistema estático, se aplica el mismo análisis. [4] [5] Esencialmente, los potenciales se pueden evaluar en el campo cercano en un instante dado simplemente tomando una instantánea del sistema y tratándolo como si fuera estático, de ahí que se le llame cuasi-estático. [5] Ver campo cercano y lejano y expansión multipolar . En particular, la distancia inversase expande mediante armónicos esféricos que se integran por separado para obtener coeficientes multipolares esféricos.
Expansión multipolar en campo lejano: radiación multipolar
A grandes distancias de una fuente de alta frecuencia, , se cumplen las siguientes aproximaciones:
Dado que sólo el término de primer orden en es significativo a grandes distancias, las expansiones se combinan para dar
Cada poder de corresponde a un momento multipolar diferente. Los primeros momentos se evalúan directamente a continuación.
Radiación eléctrica monopolo, inexistente
El término de orden cero, , aplicado al potencial escalar da
donde la carga total es el momento monopolo eléctrico que oscila a la frecuencia ω. La conservación de la carga requiere q = 0 ya que
.
Si el sistema está cerrado, la carga total no puede fluctuar, lo que significa que la amplitud de oscilación q debe ser cero. Por eso,. Los campos correspondientes y la potencia radiante también deben ser cero. [5]
Radiación dipolo eléctrico
Potencial dipolo eléctrico
La radiación dipolo eléctrica se puede derivar aplicando el término de orden cero al potencial vectorial. [5]
Se pueden obtener resultados similares aplicando el término de primer orden, al potencial escalar. La amplitud del momento dipolar eléctrico del sistema es, que permite expresar los potenciales como
Campos de dipolos eléctricos
Una vez que se entienden los potenciales dependientes del tiempo, el campo eléctrico y el campo magnético dependientes del tiempo se pueden calcular de la forma habitual. A saber,
,
o, en una región del espacio libre de fuentes, la relación entre el campo magnético y el campo eléctrico se puede utilizar para obtener
dónde es la impedancia del espacio libre . Los campos eléctricos y magnéticos que corresponden a los potenciales anteriores son
que es consistente con ondas de radiación esféricas. [5]
Poder dipolar eléctrico puro
La densidad de potencia, energía por unidad de área por unidad de tiempo, se expresa mediante el vector de Poynting . De ello se deduce que la densidad de potencia promediada en el tiempo por unidad de ángulo sólido viene dada por
.
El producto escalar con extrae la magnitud de la emisión y el factor 1/2 proviene de promediar en el tiempo. Como se explicó anteriormente, elcancela la dependencia radial de la densidad de energía de radiación. La aplicación a un dipolo eléctrico puro da
donde θ se mide con respecto a . [5] La integración sobre una esfera produce la potencia total radiada:
Radiación dipolo magnético
Potencial dipolo magnético
El término de primer orden, , aplicado al potencial vectorial da radiación dipolo magnético y radiación cuadrupolo eléctrica. [5]
El integrando se puede separar en partes simétricas y antisimétricas en n y x ′
El segundo término contiene la magnetización efectiva debida a la corriente y la integración da el momento dipolar magnético.
Darse cuenta de tiene una forma similar a . Eso significa que el campo magnético de un dipolo magnético se comporta de manera similar al campo eléctrico de un dipolo eléctrico. Asimismo, el campo eléctrico de un dipolo magnético se comporta como el campo magnético de un dipolo eléctrico. Tomando las transformaciones
en resultados anteriores produce resultados de dipolo magnético. [5]
Campos de dipolos magnéticos
[5]
Poder dipolar magnético puro
La potencia media radiada por unidad de ángulo sólido por un dipolo magnético es
donde θ se mide con respecto al dipolo magnético . La potencia total radiada es:
[5]
Radiación de cuadrupolo eléctrico
Potencial cuadrupolo eléctrico
La porción simétrica del integrando de la sección anterior se puede resolver aplicando la integración por partes y la ecuación de continuidad de carga como se hizo para la radiación de dipolos eléctricos.
Esto corresponde al tensor de momento cuadrupolo eléctrico sin trazas. Contratando el segundo índice con el vector normal permite que el potencial del vector se exprese como
[5]
Campos de cuadrupolo eléctrico
Los campos eléctricos y magnéticos resultantes son:
[5]
Poder de cuadrupolo eléctrico puro
La potencia media radiada por unidad de ángulo sólido por un cuadrupolo eléctrico es
donde θ se mide con respecto al dipolo magnético . La potencia total radiada es:
[5]
Radiación multipolar generalizada
A medida que aumenta el momento multipolar de la distribución de una fuente, los cálculos directos empleados hasta ahora se vuelven demasiado engorrosos para continuar. El análisis de momentos superiores requiere una maquinaria teórica más general. Al igual que antes, una sola frecuencia de fuentese considera. Por lo tanto, la carga, la corriente y las densidades de magnetización intrínseca están dadas por
respectivamente. Los campos eléctricos y magnéticos resultantes comparten la misma dependencia del tiempo que las fuentes.
El uso de estas definiciones y la ecuación de continuidad permite que las ecuaciones de Maxwell se escriban como
Estas ecuaciones se pueden combinar tomando el rizo de las últimas ecuaciones y aplicando la identidad . Esto da las formas vectoriales de la ecuación de Helmholtz no homogénea.
Soluciones de la ecuación de onda
Las ecuaciones de onda homogénea que describen la radiación electromagnética con frecuencia. en una región libre de fuentes tienen la forma.
La función de onda se puede expresar como una suma de armónicos esféricos vectoriales
Dónde son los armónicos esféricos vectoriales normalizados y y son funciones esféricas de Hankel. Ver funciones esféricas de Bessel . El operador diferencial es el operador de momento angular con la propiedad . Los coeficientes y corresponden a ondas en expansión y contracción, respectivamente. Entoncespor radiación. Para determinar los otros coeficientes, se aplica la función de Green para la ecuación de onda. Si la ecuación de origen es
entonces la solución es:
La función de Green se puede expresar en armónicos esféricos vectoriales.
Tenga en cuenta que es un operador diferencial que actúa sobre la función fuente . Por tanto, la solución a la ecuación de onda es:
Campos eléctricos multipolares
Aplicar la solución anterior a la ecuación de onda eléctrica multipolar
da la solución para el campo magnético: [5]
El campo eléctrico es:
La fórmula se puede simplificar aplicando las identidades
al integrando, que resulta en [5]
El teorema de Green y la integración por partes manipula la fórmula en
La función de bessel esférico También se puede simplificar asumiendo que la escala de longitud de radiación es mucho mayor que la escala de longitud de fuente, lo que es cierto para la mayoría de las antenas.
Retener sólo los términos de orden más bajo da como resultado la forma simplificada de los coeficientes multipolares eléctricos: [5]
es el mismo que el momento multipolar eléctrico en el caso estático si se aplicara a la distribución de carga estática mientras que corresponde a un momento multipolar eléctrico inducido por la magnetización intrínseca del material fuente.
Campos magnéticos multipolares
Aplicar la solución anterior a la ecuación de onda magnética multipolar
da la solución para el campo eléctrico: [5]
El campo magnético es:
Como antes, la forumula se simplifica a:
Retener solo los términos de orden más bajo da como resultado la forma simplificada de los coeficientes multipolares magnéticos: [5]
es el momento multipolar magnético de la magnetización efectiva tiempo corresponde a la magnetización intrínseca .
Solución general
Los campos multipolares eléctricos y magnéticos se combinan para dar los campos totales: [5]
Tenga en cuenta que la función radial se puede simplificar en el límite de campo lejano .
Así se recupera la dependencia radial de la radiación.
Ver también
Expansión multipolar
Armónicos esféricos
Armónicos esféricos vectoriales
Campo cercano y lejano
Referencias
[1] [2] [3] [4] [5] [6]
↑ a b Hartle, James B. (2003). Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein . Addison-Wesley . ISBN 0-8053-8662-9.
^ a b cRose, YO (1955). Campos multipolares . John Wiley e hijos .
^ a bBlatt, John M .; Weisskopf, Victor F. (1963). Física nuclear teórica - Séptima impresión . John Wiley e hijos . ISBN 0-471-30932-X.
^ a b c dRaab, Roger E .; de Lange, Owen L. (2004). Teoría multipolar en electromagnetismo . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-856727-1.
^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w xJackson, John David (1999). Electrodinámica clásica - Tercera edición . John Wiley e hijos . ISBN 0-471-30932-X.
^ a b cHafner, Christian (1990). La técnica multipolar generalizada para electromagnetismo computacional . Casa Artech . ISBN 0-89006-429-6.
^Robert G. Brown (28 de diciembre de 2007). "Cálculo vectorial: integración por partes" . Electrodinámica clásica: Parte II .