Globo de mylar (geometría)

Este artículo trata sobre una figura geométrica. Para globos hechos de mylar , vea Globo .

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En geometría , un globo de mylar es una superficie de revolución . Mientras que una esfera es la superficie que encierra un volumen máximo para un área de superficie dada , el globo de mylar maximiza el volumen para una longitud de arco generatriz dada . Se asemeja a una esfera ligeramente aplanada.

La forma se realiza aproximadamente inflando un globo físico hecho de dos láminas circulares de material flexible e inelástico ; por ejemplo, un tipo popular de globo de juguete hecho de plástico aluminizado . Quizás de manera contradictoria, el área de la superficie del globo inflado es menor que el área de la superficie de las láminas circulares. Esto se debe al engarzado físico de la superficie, que aumenta cerca del borde.

"Globo de Mylar" es el nombre de la figura dada por W. Paulson, quien primero investigó la forma. El término fue adoptado posteriormente por otros escritores. "Mylar" es una marca comercial de DuPont .

Definición

La parte positiva de la generatriz del globo es la función z ( x ) donde para una longitud de generatriz dada a :

${\displaystyle z(r)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!{\sqrt {1+z'(x)^{2}}}\,dx\,=a}$ (es decir, se da la longitud de la generatriz)

${\displaystyle \int _{0}^{r}\!4\pi xz(x)\,dx}$ es un máximo (es decir, el volumen es máximo)

Aquí, el radio r se determina a partir de las restricciones.

Caracterización paramétrica

Las ecuaciones paramétricas para la generatriz de un globo de radio r están dadas por:

${\displaystyle x(u)=r\cos u;\qquad z(u)=r{\sqrt {2}}\left[E(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})-{\frac {1}{2}}F(u,{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right]{\text{ for }}u\in [0,{\frac {\pi }{2}}]\,}$

(donde E y F son integrales elípticas del segundo y primer tipo)

Medición

El "espesor" τ del globo (es decir, la distancia transversal en el eje de rotación) se puede determinar calculando a partir de las ecuaciones paramétricas anteriores. El espesor es aproximadamente${\displaystyle 2z({\frac {\pi }{2}})}$

τ ≈ 0,599 · 2 r .

La relación de τ a r es independiente del tamaño del globo.

La relación entre la longitud del arco de la generatriz a y el radio del globo es aproximadamente

a / r ≈ 1,3110. (la referencia indica que "a" es el radio del globo desinflado, "r" es el radio del globo inflado)

El volumen del globo viene dado por:

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\pi ar^{2},}$

donde a es la longitud del arco de la generatriz).

o alternativamente:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\tau a^{2},}$

donde τ es el espesor en el eje de rotación

Geometría de superficie

La relación de las curvaturas principales en cada punto del globo de mylar es exactamente 2, lo que lo convierte en un caso interesante de superficie Weingarten . Además, esta única propiedad caracteriza completamente al globo. El globo es evidentemente más plano en el eje de rotación; este punto tiene curvatura cero en cualquier dirección.

Ver también

• Problema de la bolsa de papel

Referencias

• Mladenov, IM (2001). "Sobre la geometría del globo Mylar". CR Acad. Bulg. Sci. 54 : 39–44. Código Bibliográfico : 2001CRABS..54i..39M .
• Paulsen, WH (1994). "¿Cuál es la forma de un globo de Mylar?". American Mathematical Monthly . 101 (10): 953–958. doi : 10.2307 / 2975161 . JSTOR  2975161 .
• Finch, Steven (13 de agosto de 2013). "Inflar una membrana inelástica" (PDF) .