En física matemática , el álgebra superconformal 2D N = 2 es una superalgebra de Lie de dimensión infinita , relacionada con la supersimetría , que ocurre en la teoría de cuerdas y en la teoría de campos conforme bidimensional . Tiene importantes aplicaciones en simetría especular . Fue introducido por M. Ademollo, L. Brink y A. D'Adda et al. ( 1976 ) como álgebra de gauge de la cuerda fermiónica U (1).
Definición
Hay dos formas ligeramente diferentes de describir el álgebra superconformal N = 2, llamadas álgebra de Ramond N = 2 y álgebra de Neveu-Schwarz N = 2, que son isomórficas (ver más abajo) pero difieren en la elección de la base estándar. El álgebra superconformal N = 2 es la superalgebra de Lie con base de elementos pares c , L n , J n , para n un número entero y elementos impares G+
r, G-
r, dónde (para la base Ramond) o (para la base Neveu-Schwarz) definida por las siguientes relaciones: [1]
- c está en el centro
Si en estas relaciones, esto produce el álgebra de Ramond N = 2 ; mientras que sison medio enteros, da el álgebra N = 2 de Neveu-Schwarz . Los operadoresgenerar una subálgebra de Lie isomórfica al álgebra de Virasoro . Junto con los operadores, generan una superalgebra de Lie isomórfica a la superálgebra de Virasoro , dando el álgebra de Ramond sison números enteros y el álgebra de Neveu-Schwarz en caso contrario. Cuando se representan como operadores en un complejo espacio de producto interno ,se considera que actúa como una multiplicación por un escalar real, denotado por la misma letra y llamado carga central , y la estructura adjunta es la siguiente:
Propiedades
- Las álgebras N = 2 de Ramond y Neveu-Schwarz son isomorfas por el isomorfismo de cambio espectralde Schwimmer y Seiberg (1987) : con inverso:
- En el álgebra N = 2 de Ramond, los operadores de modo cero, , y las constantes forman una superalgebra de Lie de cinco dimensiones. Satisfacen las mismas relaciones que los operadores fundamentales en la geometría de Kähler , con correspondiente al laplaciano, el operador de grado, y la y operadores.
- Incluso las potencias enteras del cambio espectral dan automorfismos de las álgebras superconformales N = 2, llamados automorfismos de cambio espectral. Otro automorfismo, del período dos, está dada por En términos de operadores de Kähler, corresponde a conjugar la estructura compleja. Desde, los automorfismos y generar un grupo de automorfismos del álgebra superconformal N = 2 isomorfo al grupo diedro infinito .
- Operadores retorcidos fueron introducidos por Eguchi & Yang (1990) y satisfacen: de modo que estos operadores satisfacen la relación de Virasoro con carga central 0. La constante todavía aparece en las relaciones de y las relaciones modificadas
Construcciones
Construcción de campo libre
Green, Schwarz y Witten (1988) dar una construcción usando dos campos bosónicos reales que se desplazan al trabajo ,
y un campo fermiónico complejo
se define como la suma de los operadores Virasoro asociados naturalmente con cada uno de los tres sistemas
donde se ha utilizado el orden normal para bosones y fermiones.
El operador actual está definido por la construcción estándar de fermiones
y los dos operadores supersimétricos por
Esto produce un álgebra de N = 2 Neveu-Schwarz con c = 3.
Construcción de coset supersimétrica SU (2)
Di Vecchia y col. (1986) dieron una construcción de clases laterales de las álgebras superconformales N = 2, generalizando las construcciones de clases laterales de Goddard, Kent y Olive (1986) para las representaciones en series discretas del álgebra de Virasoro y super Virasoro. Dada una representación del álgebra afín Kac-Moody de SU (2) en el nivel con base satisfactorio
los generadores supersimétricos están definidos por
Esto produce el álgebra superconformal N = 2 con
El álgebra conmuta con los operadores bosónicos
El espacio de estados físicos consta de vectores propios de simultáneamente aniquilado por el es positivo y el operador de supercarga
- (Neveu – Schwarz)
- (Ramond)
El operador de supercarga conmuta con la acción del grupo afín Weyl y los estados físicos se encuentran en una sola órbita de este grupo, hecho que implica la fórmula del carácter Weyl-Kac . [2]
Construcción de coset supersimétrica Kazama-Suzuki
Kazama y Suzuki (1989) generalizaron la construcción de coset SU (2) a cualquier par que constara de un grupo Lie compacto simple y un subgrupo cerrado de rango máximo, es decir, que contiene un toro máximo de , con la condición adicional de que la dimensión del centro de no es cero. En este caso, el compacto espacio simétrico hermitiano es un colector de Kähler, por ejemplo cuando . Los estados físicos se encuentran en una sola órbita del grupo afín de Weyl, que nuevamente implica la fórmula de caracteres de Weyl-Kac para el álgebra afín de Kac-Moody de. [3]
Ver también
Notas
- ^ Green, Schwarz y Witten 1998a , págs. 240–241
- ^ Wassermann 2010
- ^ Wassermann 2010
Referencias
- Ademollo, M .; Brink, L .; D'Adda, A .; D'Auria, R .; Napolitano, E .; Sciuto, S .; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S .; Gliozzi, F .; Musto, R .; Pettorino, R. (1976), "Cadenas supersimétricas y confinamiento de color" , Physics Letters B , 62 (1): 105-110, Bibcode : 1976PhLB ... 62..105A , doi : 10.1016 / 0370-2693 (76) 90061-7
- Boucher, W .; Freidan, D ; Kent, A. (1986), "Fórmulas determinantes y unitaridad para las álgebras superconformales N = 2 en dos dimensiones o resultados exactos sobre la compactación de cuerdas", Phys. Letón. B , 172 (3–4): 316–322, Bibcode : 1986PhLB..172..316B , doi : 10.1016 / 0370-2693 (86) 90260-1
- Di Vecchia, P .; Petersen, JL; Yu, M .; Zheng, HB (1986), "Construcción explícita de representaciones unitarias del álgebra superconformal N = 2", Phys. Letón. B , 174 (3): 280–284, Bibcode : 1986PhLB..174..280D , doi : 10.1016 / 0370-2693 (86) 91099-3
- Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), " N = 2 modelos superconformales como teorías de campos topológicos", Mod. Phys. Letón. A , 5 (21): 1693-1701, doi : 10.1142 / S0217732390001943
- Goddard, P .; Kent, A .; Olive, D. (1986), "Representaciones unitarias de las álgebras de Virasoro y super-Virasoro" , Comm. Matemáticas. Phys. , 103 (1): 105–119, código Bib : 1986CMaPh.103..105G , doi : 10.1007 / bf01464283 , S2CID 91181508
- Green, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988a), Teoría de supercuerdas, Volumen 1: Introducción , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
- Green, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988b), Teoría de supercuerdas, Volumen 2: amplitudes de bucle, anomalías y fenomenología , Cambridge University Press, Bibcode : 1987cup..bookR .... G , ISBN 0-521-35753-5
- Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "Nuevas teorías de campo superconformal N = 2 y compactación de supercuerdas", Física nuclear B , 321 (1): 232-268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K , doi : 10.1016 / 0550-3213 ( 89) 90250-2
- Schwimmer, A .; Seiberg, N. (1987), "Comentarios sobre las álgebras superconformales N = 2, 3, 4 en dos dimensiones", Phys. Letón. B , 184 (2–3): 191–196, Bibcode : 1987PhLB..184..191S , doi : 10.1016 / 0370-2693 (87) 90566-1
- Voisin, Claire (1999), Simetría de espejo , textos y monografías SMF / AMS, 1 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1947-X
- Wassermann, AJ (2010) [1998]. "Apuntes de conferencias sobre álgebras de Kac-Moody y Virasoro". arXiv : 1004.1287 .
- West, Peter C. (1990), Introducción a la supersimetría y la supergravedad (2ª ed.), World Scientific, págs. 337–8, ISBN 981-02-0099-4