p1m1, ( * ∞∞ ) | p2, (22∞) | p2 mg, (2 * ∞) |
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En 2 dimensiones, tres grupos de friso p1m1, p2 y p2mg son isomorfos al grupo Dih ∞ . Todos tienen 2 generadores. La primera tiene dos líneas de reflexión paralelas, la segunda tiene dos giros y la última tiene un espejo y un giro de 2 veces. |
En matemáticas , el grupo diedro infinito Dih ∞ es un grupo infinito con propiedades análogas a las de los grupos diedros finitos .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/9f/Isogonal_apeirogon_linear.png/360px-Isogonal_apeirogon_linear.png)
En geometría bidimensional , el grupo diedro infinito representa la simetría del grupo friso , p1m1 , visto como un conjunto infinito de reflejos paralelos a lo largo de un eje.
Definición
Todo grupo diedro se genera mediante una rotación ry una reflexión; si la rotación es un múltiplo racional de una rotación completa, entonces hay un número entero n tal que r n es la identidad, y tenemos un grupo diedro finito de orden 2 n . Si la rotación no es un múltiplo racional de una rotación completa, entonces no existe tal n y el grupo resultante tiene infinitos elementos y se llama Dih ∞ . Tiene presentaciones
y es isomorfo a un producto semidirecto de Z y Z / 2, y al producto libre Z / 2 * Z / 2. Es el grupo de automorfismos del gráfico que consta de un camino infinito a ambos lados. En consecuencia, es el grupo de isometría de Z (ver también grupos de simetría en una dimensión ), el grupo de permutaciones α: Z → Z satisface | i - j | = | Α ( i ) - α ( j ) |, para todos los i, j en Z . [2]
El grupo diedro infinito también se puede definir como el holomorfo del grupo cíclico infinito .
Aliasing
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/92/Aliasing-folding.svg/300px-Aliasing-folding.svg.png)
Un ejemplo de simetría diédrica infinita es el aliasing de señales de valor real.
Al muestrear una función a la frecuencia f s (intervalos 1 / f s ), las siguientes funciones producen conjuntos idénticos de muestras: {sin (2π ( f + Nf s ) t + φ), N = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... }. Por tanto, el valor detectado de la frecuencia f es periódico , lo que da el elemento de traslación r = f s . Se dice que las funciones y sus frecuencias son alias entre sí. Observando la identidad trigonométrica:
podemos escribir todas las frecuencias de alias como valores positivos: | f + N f s | . Esto da el elemento de reflexión ( f ), a saber, f ↦ - f . Por ejemplo, con f = 0.6 f s y N = −1 , f + Nf s = −0.4 f s se refleja en 0.4 f s , resultando en los dos puntos negros más a la izquierda en la figura. [nota 1] Los otros dos puntos corresponden a N = −2 y N = 1 . Como muestra la figura, hay simetrías de reflexión, a 0.5 f s , f s , 1.5 f s , etc. Formalmente, el cociente debajo del aliasing es el orbifold [0, 0.5 f s ], con una acción Z / 2 en los puntos finales (los puntos orbifold), correspondiente a la reflexión.
Ver también
- El grupo ortogonal O (2), otra generalización infinita de los grupos diédricos finitos
- El grupo simétrico afín , una familia de grupos que incluye el grupo diedro infinito
Notas
- ^ En el procesamiento de señales , la simetría alrededor del eje f s / 2 se conoce como plegado , y el eje se conoce como la frecuencia de plegado .
Referencias
- ^ Connolly, Francis; Davis, James (agosto de 2004). "Los grupos de obstrucción quirúrgica del grupo diedro infinito". Geometría y topología . 8 (3): 1043–1078. arXiv : matemáticas / 0306054 . doi : 10.2140 / gt.2004.8.1043 .
- ^ Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller, Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups, Edición 1689. Springer, 1998. p. 38 . ISBN 978-3-540-64965-6