En matemáticas , un polígono cercano es una geometría de incidencia introducida por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka en 1980. [1] Shult y Yanushka mostraron la conexión entre los llamados sistemas de líneas tetraédricamente cerradas en los espacios euclidianos y una clase de puntos. geometrías de línea que llamaron polígonos cercanos. Estas estructuras generalizan la noción de polígono generalizado, ya que cada 2 n -gon generalizado es un casi 2 n -gon de un tipo particular. Los polígonos cercanos se estudiaron extensamente y la conexión entre ellos y los espacios polares duales [2] se mostró en la década de 1980 y principios de la de 1990. Algunosgrupos simples esporádicos , por ejemplo, el grupo de Hall-Janko y los grupos de Mathieu , actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.
Definición
Un casi 2 d -gon es una estructura de incidencia (), dónde es el conjunto de puntos, es el conjunto de líneas y es la relación de incidencia , tal que:
- La distancia máxima entre dos puntos (el llamado diámetro) es d .
- Por cada punto y cada linea existe un punto único en cual es mas cercano a .
Nótese que las distancias se miden en el gráfico de colinealidad de puntos, es decir, el gráfico que se forma tomando puntos como vértices y uniendo un par de vértices si inciden con una línea común. También podemos dar una definición teórica de grafos alternativa , un casi 2 d -gon es un grafo conectado de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice xy cada camarilla máxima M existe un vértice único x ' en M más cercano a x . Las camarillas máximas de tal gráfico corresponden a las líneas en la definición de la estructura de incidencia. Un gon cercano a 0 ( d = 0) es un solo punto, mientras que un gon cercano a 2 ( d = 1) es solo una línea, es decir, un gráfico completo . Un cuadrilátero cercano ( d = 2) es lo mismo que un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado) . De hecho, se puede demostrar que cada 2 d -gon generalizado es un casi 2 d -gon que satisface las siguientes dos condiciones adicionales:
- Cada punto es incidente con al menos dos líneas.
- Por cada dos puntos x , y a una distancia i < d , existe un vecino único de y a una distancia i - 1 de x .
Un polígono cercano se llama denso si cada línea es incidente con al menos tres puntos y si cada dos puntos en la distancia dos tienen al menos dos vecinos comunes. Se dice que tiene orden ( s , t ) si cada línea incide precisamente con s + 1 puntos y cada punto incide precisamente con t + 1 rectas. Los polígonos cercanos densos tienen una teoría rica y varias clases de ellos (como los polígonos cercanos densos delgados) se han clasificado completamente. [3]
Ejemplos de
- Todos los gráficos bipartitos conectados están cerca de polígonos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un gráfico bipartito conectado.
- Todos los polígonos generalizados finitos excepto los planos proyectivos.
- Todos los espacios polares duales .
- El Hall-Janko cerca del octágono, también conocido como Cohen- Tits cerca del octágono [4] asociado con el grupo Hall-Janko . Puede construirse eligiendo la clase de conjugación de 315 involuciones centrales del grupo de Hall-Janko como puntos y líneas como subconjuntos de tres elementos {x, y, xy} siempre que xey conmuten.
- El hexágono cercano M 24 relacionado con el grupo Mathieu M24 y el código binario extendido Golay . Se construye tomando las 759 octadas (bloques) en el diseño de Witt S (5, 8, 24) correspondientes al código Golay como puntos y un triple de tres octadas disjuntas por pares como líneas. [5]
- Tome las particiones de {1, 2, ..., 2 n + 2} en n + 1 2-subconjuntos como puntos y las particiones en n - 1 2-subconjuntos y un 4-subconjunto como líneas. Un punto es incidente a una línea si, como partición, es un refinamiento de la línea. Esto nos da un casi 2 n -gon con tres puntos en cada línea, generalmente denotado H n . Su grupo de automorfismo completo es el grupo simétrico S 2 n +2 . [6] [7]
Polígonos cercanos regulares
Un finito cerca -gon S se llama regular si tiene un orden y si existen constantes , de modo que por cada dos puntos y a distancia , hay precisamente líneas a través de que contiene un punto (necesariamente único) a distancia de . Resulta que cerca de-gones son precisamente los que están cerca -gones cuyo gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) es un gráfico de distancia regular . Un generalizado-gon de orden es un cercano regular -gon con parámetros
Ver también
Notas
- ^ Shult, Ernesto; Yanushka, Arthur. "Cerca de n-gons y sistemas de línea".
- ^ Cameron, Peter J. "Espacios polares duales".
- ^ De Bruyn, Bart. Cerca de polígonos
- ^ http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/HJ315.html
- ^ https://www.win.tue.nl/~aeb/2WF02/Witt.pdf
- ^ Brouwer, AE; Wilbrink, HA, dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF)
- ^ De Bruyn, Bart, incrustaciones isométricas entre el polígono cercano H n y G n (PDF)
Referencias
- Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, HA; Hall, JJ (1994), "Cerca de polígonos y espacios de Fischer" (PDF) , Geom. Dedicata , 49 (3): 349–368, doi : 10.1007 / BF01264034.
- Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Gráficos regulares de distancia , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, MR 1002568.
- Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF) , Informe ZW194 / 83, Mathematisch Centrum.
- Cameron, Peter J. (1982), "Espacios polares duales", Geom. Dedicata , 12 : 75–85, doi : 10.1007 / bf00147332 , MR 0645040.
- Cameron, Peter J. (1991), espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, 13 , Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019.
- De Bruyn, Bart (2006), Near Polygons , Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-7643-7553-9 , ISBN 3-7643-7552-3, MR 2227553.
- De Clerck, F .; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Handbook of Incidence Geometry , Amsterdam: North-Holland, págs. 433–475.
- Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.
- Shult, Ernest; Yanushka, Arthur (1980), "Near n-gons and line systems", Geom. Dedicata , 9 : 1–72, doi : 10.1007 / BF00156473 , MR 0566437.