En teoría de grupos , un grupo esporádico es uno de los 26 grupos excepcionales que se encuentran en la clasificación de grupos simples finitos .
Un grupo simple es un grupo G que no tiene ningún subgrupo normal excepto el grupo trivial y el G mismo. El teorema de clasificación establece que la lista de grupos simples finitos consta de 18 familias numerables infinitas [1] más 26 excepciones que no siguen un patrón tan sistemático. Estas 26 excepciones son los grupos esporádicos. También se les conoce como grupos simples esporádicos o grupos finitos esporádicos. Debido a que no es estrictamente un grupo del tipo Mentira , el grupo de las Tetas a veces se considera un grupo esporádico [2]. en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos.
El grupo de monstruos es el más grande de los grupos esporádicos, y todos menos seis de los otros grupos esporádicos son subcotantes de él.
Nombres
Mathieu descubrió cinco de los grupos esporádicos en la década de 1860 y los otros 21 se encontraron entre 1965 y 1975. Se predijo que varios de estos grupos existían antes de que fueran construidos. La mayoría de los grupos llevan el nombre de los matemáticos que predijeron por primera vez su existencia. La lista completa es:
- Grupos de Mathieu M 11 (M11), M 12 (M12), M 22 (M22), M 23 (M23), M 24 (M24)
- Grupos Janko J 1 (J1), J 2 o HJ (J2), J 3 o HJM (J3), J 4 (J4)
- Grupos de Conway Co 1 (Co1), Co 2 (Co2), Co 3 (Co3)
- Grupos de Fischer Fi 22 (Fi22), Fi 23 (Fi23), Fi 24 ′ o F 3+ (Fi24)
- Higman – Sims group HS
- Grupo McLaughlin McL
- Grupo celebrado He o F 7+ o F 7
- Grupo Rudvalis Ru
- Grupo Suzuki Suz o F 3−
- Grupo O'Nan O'N (ON)
- Grupo Harada-Norton HN o F 5+ o F 5
- Lyón grupo Ly
- Grupo Thompson Th o F 3 | 3 o F 3
- Baby Monster grupo B o F 2+ o F 2
- Grupo de monstruos Fischer-Griess M o F 1
El grupo de Tits T a veces también se considera un grupo esporádico (es casi, pero no estrictamente un grupo de tipo Lie), por lo que en algunas fuentes el número de grupos esporádicos se da como 27 en lugar de 26. [3] En algunos En otras fuentes, el grupo de las tetas no se considera ni esporádico ni de tipo mentiroso. [4] De todos modos, es el ( n = 0) -miembro 2 F 4 (2) ′ de la familia infinita de grupos de conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 ) ′ - y por lo tanto, por definición, no es esporádico. Para n > 0 estos grupos simples finitos coinciden con los grupos de tipo Lie 2 F 4 (2 2 n +1 ). Pero para n = 0, el subgrupo derivado 2 F 4 (2) ′ , llamado grupo Tits, es simple y tiene un índice 2 en el grupo finito 2 F 4 (2) de tipo Lie que —como el único del conjunto familia— no es simple.
Se han construido representaciones matriciales sobre campos finitos para todos los grupos esporádicos.
El primer uso del término grupo esporádico puede ser Burnside (1911 , p. 504, nota N) donde comenta sobre los grupos de Mathieu: "Estos grupos simples aparentemente esporádicos probablemente merecerían un examen más detenido del que han recibido hasta ahora".
El diagrama de la derecha está basado en Ronan (2006) . No muestra los numerosos subquotientes simples no esporádicos de los grupos esporádicos.
Organización
Familia feliz
De los 26 grupos esporádicos, 20 se pueden ver dentro del grupo Monster como subgrupos o cocientes de subgrupos ( secciones ). Estos veinte han sido llamados la familia feliz por Robert Griess y se pueden organizar en tres generaciones.
Primera generación (5 grupos): los grupos de Mathieu
M n para n = 11, 12, 22, 23 y 24 son grupos de permutación transitiva multiplicada en n puntos. Todos son subgrupos de M 24 , que es un grupo de permutación en 24 puntos.
Segunda generación (7 grupos): la celosía Leech
Todos los subquotientes del grupo de automorfismo de una celosía en 24 dimensiones llamada celosía Leech :
- Co 1 es el cociente del grupo de automorfismos por su centro {± 1}
- Co 2 es el estabilizador de un vector de tipo 2 (es decir, longitud 2)
- Co 3 es el estabilizador de un vector de tipo 3 (es decir, longitud √ 6 )
- Suz es el grupo de automorfismos que conserva una estructura compleja (módulo su centro)
- McL es el estabilizador de un triángulo tipo 2-2-3
- HS es el estabilizador de un triángulo tipo 2-3-3
- J 2 es el grupo de automorfismos que conserva una estructura cuaterniónica (módulo su centro).
Tercera generación (8 grupos): otros subgrupos del Monstruo
Consta de subgrupos que están estrechamente relacionados con el grupo de monstruos M :
- B o F 2 tiene una doble tapa que es el centralizador de un elemento de orden 2 en M
- Fi 24 ′ tiene una cubierta triple que es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en clase de conjugación "3A")
- Fi 23 es un subgrupo de Fi 24 ′
- Fi 22 tiene una cubierta doble que es un subgrupo de Fi 23
- El producto de Th = F 3 y un grupo de orden 3 es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en conjugación clase "3C")
- El producto de HN = F 5 y un grupo de orden 5 es el centralizador de un elemento de orden 5 en M
- El producto de Él = F 7 y un grupo de orden 7 es el centralizador de un elemento de orden 7 en M .
- Finalmente, se considera que el propio grupo Monster pertenece a esta generación.
(Esta serie continúa más allá: el producto de M 12 y un grupo de orden 11 es el centralizador de un elemento de orden 11 en M ).
El grupo de Tits , si se considerara un grupo esporádico, pertenecería a esta generación: existe un subgrupo S 4 × 2 F 4 (2) ′ que normaliza un subgrupo 2C 2 de B , dando lugar a un subgrupo 2 · S 4 × 2 F 4 (2) ′ normalizando un cierto subgrupo Q 8 del Monstruo. 2 F 4 (2) 'es también un subcociente del grupo Fischer Fi 22 , y por tanto también de Fi 23 y Fi 24 ', y del bebé Monster B . 2 F 4 (2) ′ es también un subcociente del (paria) grupo Rudvalis Ru , y no tiene implicaciones en grupos simples esporádicos excepto los ya mencionados.
Parias
Las seis excepciones son J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru y Ly , a veces conocidas como parias .
Tabla de pedidos grupales esporádicos (con grupo Tetas)
Grupo | Gen. | Pedido , OEIS A001228 | Orden factorizado | Generadores estándar triple (a, b, ab) [5] [6] [3] | Condiciones adicionales | |
---|---|---|---|---|---|---|
F 1 o M | Tercero | 80801742479451 | ≈ 8 × 10 53 | 2 46 · 3 20 · 5 9 · 7 6 · 11 2 · 13 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 | 2A, 3B, 29 | Ninguno |
F 2 o B | Tercero | 41547814812264 | ≈ 4 × 10 33 | 2 41 · 3 13 · 5 6 · 7 2 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 | 2C, 3A, 55 | |
Fi 24 'o F 3+ | Tercero | 12552 | ≈ 1 × 10 24 | 2 21 · 3 16 · 5 2 · 7 3 · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 | 2A, 3E, 29 | |
Fi 23 | Tercero | 4089470473293004800 | ≈ 4 × 10 18 | 2 18 · 3 13 · 5 2 · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 | 2B, 3D, 28 | Ninguno |
Fi 22 | Tercero | 64561751654400 | ≈ 6 × 10 13 | 2 17 · 3 9 · 5 2 · 7 · 11 · 13 | 2A, 13, 11 | |
F 3 o Th | Tercero | 90745943887872000 | ≈ 9 × 10 16 | 2 15 · 3 10 · 5 3 · 7 2 · 13 · 19 · 31 | 2, 3A, 19 | Ninguno |
Ly | Paria | 51765179004000000 | ≈ 5 × 10 16 | 2 8 · 3 7 · 5 6 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 | 2, 5A, 14 | |
F 5 o HN | Tercero | 273030912000000 | ≈ 3 × 10 14 | 2 14 · 3 6 · 5 6 · 7 · 11 · 19 | 2A, 3B, 22 | |
Co 1 | 2do | 4157776806543360000 | ≈ 4 × 10 18 | 2 21 · 3 9 · 5 4 · 7 2 · 11 · 13 · 23 | 2B, 3C, 40 | Ninguno |
Co 2 | 2do | 42305421312000 | ≈ 4 × 10 13 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2A, 5A, 28 | Ninguno |
Co 3 | 2do | 495766656000 | ≈ 5 × 10 11 | 2 10 · 3 7 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2A, 7C, 17 | Ninguno |
EN | Paria | 460815505920 | ≈ 5 × 10 11 | 2 9 · 3 4 · 5 · 7 3 · 11 · 19 · 31 | 2A, 4A, 11 | Ninguno |
Suz | 2do | 448345497600 | ≈ 4 × 10 11 | 2 13 · 3 7 · 5 2 · 7 · 11 · 13 | 2B, 3B, 13 | |
Ru | Paria | 145926144000 | ≈ 1 × 10 11 | 2 14 · 3 3 · 5 3 · 7 · 13 · 29 | 2B, 4A, 13 | Ninguno |
F 7 o él | Tercero | 4030387200 | ≈ 4 × 10 9 | 2 10 · 3 3 · 5 2 · 7 3 · 17 | 2A, 7C, 17 | Ninguno |
McL | 2do | 898128000 | ≈ 9 × 10 8 | 2 7 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 | 2A, 5A, 11 | |
HS | 2do | 44352000 | ≈ 4 × 10 7 | 2 9 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 | 2A, 5A, 11 | Ninguno |
J 4 | Paria | 86775571046077562880 | ≈ 9 × 10 19 | 2 21 · 3 3 · 5 · 7 · 11 3 · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 | 2A, 4A, 37 | |
J 3 o HJM | Paria | 50232960 | ≈ 5 × 10 7 | 2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19 | 2A, 3A, 19 | |
J 2 o HJ | 2do | 604800 | ≈ 6 × 10 5 | 2 7 · 3 3 · 5 2 · 7 | 2B, 3B, 7 | |
J 1 | Paria | 175560 | ≈ 2 × 10 5 | 2 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 | 2, 3, 7 | |
T | Tercero | 17971200 | ≈ 2 × 10 7 | 2 11 · 3 3 · 5 2 · 13 | 2A, 3, 13 | |
M 24 | 1er | 244823040 | ≈ 2 × 10 8 | 2 10 · 3 3 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2B, 3A, 23 | |
M 23 | 1er | 10200960 | ≈ 1 × 10 7 | 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 2, 4, 23 | |
M 22 | 1er | 443520 | ≈ 4 × 10 5 | 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 2A, 4A, 11 | |
M 12 | 1er | 95040 | ≈ 1 × 10 5 | 2 6 · 3 3 · 5 · 11 | 2B, 3B, 11 | Ninguno |
M 11 | 1er | 7920 | ≈ 8 × 10 3 | 2 4 · 3 2 · 5 · 11 | 2, 4, 11 |
Referencias
- ^ Los grupos de primer orden, los grupos alternos de grado al menos 5, la familia infinita de grupos de conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 ) ′ de grupos de tipo Lie (que contienen el grupo de Tits) y 15 familias de grupos de tipo Mentira.
- ^ Por ejemplo, por John Conway .
- ↑ a b Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN (1999). "Atlas: Grupos esporádicos" .
- ^ En Eric W. Weisstein „Grupo de tetas“ de MathWorld - Un recurso web de Wolfram hay un enlace desde el grupo de Tetas al „Grupo esporádico“, mientras que en Eric W. Weisstein „Grupo esporádico“ de MathWorld - Un recurso web de Wolfram , sin embargo, el grupo de las tetas no figura entre los 26. Ambas fuentes verificaron el 2018-05-26.
- ^ Wilson RA (1998). "Un Atlas de representaciones de grupo esporádicas" (PDF) .
- ^ Nickerson SJ, Wilson RA (2000). "Semi-presentaciones para los grupos simples esporádicos" .
- Burnside, William (1911), Teoría de grupos de orden finito , p. 504 (nota N), ISBN 0-486-49575-2
- Conway, JH (1968), "Un grupo perfecto de orden 8,315,553,613,086,720,000 y los grupos simples esporádicos", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 61 (2): 398–400, doi : 10.1073 / pnas.61.2.398 , PMC 225171 , PMID 16591697 , Zbl 0186.32401
- Griess, Robert L. (1982), "El gigante amigo" , Inventiones Mathematicae , 69 , p. 1−102, doi : 10.1007 / BF01389186 , hdl : 2027.42 / 46608
- Conway, JH; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; Wilson, RA (1985). Atlas de grupos finitos. Subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. Con asistencia computacional de JG Thackray . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853199-0. Zbl 0568.20001 .
- Gorenstein, D .; Lyons, R .; Solomon, R. (1994), The Classification of the Finite Simple Groups , American Mathematical SocietyProblemas 1 , 2 , ...
- Griess, Robert L. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer-Verlag, ISBN 3540627782, Zbl 0908.20007
- Ronan, Mark (2006), Symmetry and the Monster , Oxford, ISBN 978-0-19-280722-9, Zbl 1113.00002
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo esporádico" . MathWorld .
- Atlas de representaciones de grupos finitos: grupos esporádicos