El teorema de Noether o el primer teorema de Noether establece que toda simetría diferenciable de la acción de un sistema físico con fuerzas conservadoras tiene una ley de conservación correspondiente . [1] El teorema fue probado por la matemática Emmy Noether en 1915 y publicado en 1918, [2] después de que E. Cosserat y F. Cosserat probaran un caso especial en 1909. [3] La acción de un sistema físico es la integral en el tiempo de un lagrangianofunción, a partir de la cual el comportamiento del sistema puede ser determinado por el principio de mínima acción . Este teorema solo se aplica a las simetrías continuas y suaves en el espacio físico .
El teorema de Noether se utiliza en física teórica y cálculo de variaciones . Una generalización de las formulaciones sobre constantes de movimiento en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana (desarrolladas en 1788 y 1833, respectivamente), no se aplica a sistemas que no se pueden modelar con un Lagrangiano solo (por ejemplo, sistemas con una función de disipación de Rayleigh ). En particular, los sistemas disipativos con simetrías continuas no necesitan tener una ley de conservación correspondiente.
Ilustraciones y antecedentes básicos
A modo de ilustración, si un sistema físico se comporta igual independientemente de cómo esté orientado en el espacio, su lagrangiano es simétrico bajo rotaciones continuas: a partir de esta simetría, el teorema de Noether dicta que el momento angular del sistema se conserve, como consecuencia de su leyes del movimiento. El sistema físico en sí no necesita ser simétrico; un asteroide irregular que cae en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Son las leyes de su movimiento las que son simétricas.
Como otro ejemplo, si un proceso físico exhibe los mismos resultados independientemente del lugar o el tiempo, entonces su lagrangiano es simétrico bajo traslaciones continuas en el espacio y el tiempo respectivamente: según el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente.
El teorema de Noether es importante, tanto por la información que brinda sobre las leyes de conservación como por ser una herramienta práctica de cálculo. Permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas (invariantes) a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. A la inversa, permite a los investigadores considerar clases completas de lagrangianos hipotéticos con invariantes dados para describir un sistema físico. Como una ilustración, supongamos que se propone una teoría física que conserva una cantidad X . Un investigador puede calcular los tipos de lagrangianos que conservan X mediante una simetría continua. Debido al teorema de Noether, las propiedades de estos lagrangianos proporcionan criterios adicionales para comprender las implicaciones y juzgar la idoneidad de la nueva teoría.
Existen numerosas versiones del teorema de Noether, con diversos grados de generalidad. Hay contrapartes cuánticas naturales de este teorema, expresadas en las identidades de Ward-Takahashi . También existen generalizaciones del teorema de Noether a superespacios . [ cita requerida ]
Declaración informal del teorema
Dejando a un lado todos los puntos técnicos, el teorema de Noether se puede enunciar de manera informal
Si un sistema tiene una propiedad de simetría continua, entonces existen cantidades correspondientes cuyos valores se conservan en el tiempo. [4]
Una versión más sofisticada del teorema que involucra campos establece que:
A toda simetría diferenciable generada por acciones locales le corresponde una corriente conservada .
La palabra "simetría" en el enunciado anterior se refiere más precisamente a la covarianza de la forma que toma una ley física con respecto a un grupo de transformaciones de Lie unidimensional que satisfacen ciertos criterios técnicos. La ley de conservación de una cantidad física generalmente se expresa como una ecuación de continuidad .
La demostración formal del teorema utiliza la condición de invariancia para derivar una expresión de una corriente asociada con una cantidad física conservada. En la terminología moderna (desde c. 1980 [5] ), la cantidad conservada se llama carga de Noether , mientras que el flujo que lleva esa carga se llama corriente de Noether . La corriente de Noether se define hasta un campo vectorial solenoidal (sin divergencia).
En el contexto de la gravitación, el enunciado de Felix Klein del teorema de Noether para la acción I estipula las invariantes: [6]
Si una integral I es invariante bajo un grupo continuo G ρ con ρ parámetros, entonces ρ combinaciones linealmente independientes de las expresiones lagrangianas son divergencias.
Breve ilustración y descripción general del concepto
La idea principal detrás del teorema de Noether se ilustra más fácilmente mediante un sistema con una coordenada y una simetría continua (flechas grises en el diagrama). Considere cualquier trayectoria(negrita en el diagrama) que satisfaga las leyes de movimiento del sistema . Es decir, la acción que gobierna este sistema es estacionario en esta trayectoria, es decir, no cambia bajo ninguna variación local de la trayectoria. En particular, no cambiaría bajo una variación que aplica el flujo de simetríaen un segmento de tiempo [ t 0 , t 1 ] y está inmóvil fuera de ese segmento. Para mantener la trayectoria continua, utilizamos períodos de "almacenamiento en búfer" de poco tiempo. para hacer la transición entre los segmentos gradualmente.
El cambio total en la acción ahora comprende los cambios aportados por cada intervalo en juego. Partes, donde la variación misma se desvanece, no aportan. La parte media tampoco cambia la acción, porque su transformación es una simetría y por lo tanto conserva el Lagrangiano y la accion . Las únicas partes restantes son las piezas "amortiguadoras". En términos generales, contribuyen principalmente a través de su "inclinación".
Eso cambia el Lagrangiano por , que se integra a
Estos últimos términos, evaluados en torno a los puntos finales y , deben cancelarse entre sí para hacer el cambio total en la acción ser cero, como se esperaría si la trayectoria fuera una solución. Es decir
es decir, la cantidad se conserva, que es la conclusión del teorema de Noether. Por ejemplo, si las traducciones puras de por una constante son la simetría, entonces la cantidad conservada se convierte en , el impulso canónico.
Los casos más generales siguen la misma idea:
- Cuando mas coordenadas sufrir una transformación de simetría , sus efectos se suman por linealidad a una cantidad conservada .
- Cuando hay transformaciones en el tiempo , hacen que los segmentos de "almacenamiento en búfer" contribuyan con los dos términos siguientes a :
- Finalmente, cuando en lugar de una trayectoria campos enteros se consideran, el argumento reemplaza
- el intervalo con una región delimitada de El -dominio,
- los puntos finales y con el límite de la región,
- y su contribución a se interpreta como un flujo de una corriente conservada , que se construye de forma análoga a la definición anterior de cantidad conservada.
Contexto histórico
Una ley de conservación establece que alguna cantidad X en la descripción matemática de la evolución de un sistema permanece constante a lo largo de su movimiento; es una invariante . Matemáticamente, la tasa de cambio de X (su derivada con respecto al tiempo ) es cero,
Se dice que estas cantidades se conservan; a menudo se les llama constantes de movimiento (aunque el movimiento per se no necesita estar involucrado, solo evolución en el tiempo). Por ejemplo, si la energía de un sistema se conserva, su energía es invariante en todo momento, lo que impone una restricción al movimiento del sistema y puede ayudar a resolverlo. Aparte de las percepciones que tales constantes de movimiento dan a la naturaleza de un sistema, son una herramienta de cálculo útil; por ejemplo, se puede corregir una solución aproximada encontrando el estado más cercano que satisfaga las leyes de conservación adecuadas.
Las primeras constantes de movimiento descubiertas fueron el impulso y la energía , que fueron propuestas en el siglo XVII por René Descartes y Gottfried Leibniz sobre la base de experimentos de colisión , y refinadas por investigadores posteriores. Isaac Newton fue el primero en enunciar la conservación del impulso en su forma moderna y demostró que era una consecuencia de la tercera ley de Newton . Según la relatividad general , las leyes de conservación del momento lineal, la energía y el momento angular solo son exactamente verdaderas globalmente cuando se expresan en términos de la suma del tensor de tensión-energía ( tensión no gravitacional-energía) y la tensión-energía de Landau-Lifshitz. –Seudotensor de momento (tensión-energía gravitacional). La conservación local del momento lineal no gravitacional y la energía en un sistema de referencia en caída libre se expresa mediante la desaparición de la divergencia covariante del tensor de tensión-energía . Otra importante cantidad conservada, descubierta en estudios de la mecánica celeste de los cuerpos astronómicos, es el vector Laplace-Runge-Lenz .
A finales del siglo XVIII y principios del XIX, los físicos desarrollaron métodos más sistemáticos para descubrir invariantes. Un gran avance se produjo en 1788 con el desarrollo de la mecánica lagrangiana , que está relacionada con el principio de mínima acción . En este enfoque, el estado del sistema puede describirse mediante cualquier tipo de coordenadas generalizadas q ; las leyes del movimiento no necesitan expresarse en un sistema de coordenadas cartesiano , como era habitual en la mecánica newtoniana. La acción se define como la integral de tiempo I de una función conocida como lagrangiana L
donde el punto sobre q significa la tasa de cambio de las coordenadas q ,
El principio de Hamilton establece que el camino físico q ( t ) —el que realmente toma el sistema— es un camino para el cual variaciones infinitesimales en ese camino no causan cambios en I , al menos hasta el primer orden. Este principio da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange ,
Por lo tanto, si una de las coordenadas, digamos q k , no aparece en el lagrangiano, el lado derecho de la ecuación es cero y el lado izquierdo requiere que
donde el impulso
se conserva durante todo el movimiento (en el camino físico).
Por tanto, la ausencia de la coordenada ignorable q k del Lagrangiano implica que el Lagrangiano no se ve afectado por los cambios o transformaciones de q k ; el lagrangiano es invariante y se dice que exhibe una simetría bajo tales transformaciones. Esta es la idea semilla generalizada en el teorema de Noether.
En el siglo XIX se desarrollaron varios métodos alternativos para encontrar cantidades conservadas, especialmente por William Rowan Hamilton . Por ejemplo, desarrolló una teoría de transformaciones canónicas que permitía cambiar las coordenadas de modo que algunas coordenadas desaparecieran del lagrangiano, como el anterior, resultando en momentos canónicos conservados. Otro enfoque, y quizás el más eficiente para encontrar cantidades conservadas, es la ecuación de Hamilton-Jacobi .
Expresión matemática
Forma simple usando perturbaciones
La esencia del teorema de Noether es generalizar las coordenadas ignorables descritas. [ aclaración necesaria ]
Se puede suponer que el Lagrangiano L definido anteriormente es invariante bajo pequeñas perturbaciones (deformaciones) de la variable de tiempo t y las coordenadas generalizadas q . Uno puede escribir
donde las perturbaciones δt y δ q son pequeñas, pero variables. Para generalidad, supongamos que hay (por ejemplo) N tales transformaciones de simetría de la acción, es decir, las transformaciones que salen de la acción sin cambios; marcado por un índice r = 1, 2, 3, ..., N .
Entonces, la perturbación resultante se puede escribir como una suma lineal de los tipos individuales de perturbaciones,
donde ε r son coeficientes de parámetros infinitesimales correspondientes a cada uno:
- generador T r de evolución en el tiempo , y
- generador Q r de las coordenadas generalizadas.
Para las traslaciones, Q r es una constante con unidades de longitud ; para las rotaciones, es una expresión lineal en las componentes de q , y los parámetros forman un ángulo .
Usando estas definiciones, Noether mostró que las N cantidades
(que tienen las dimensiones de [energía] · [tiempo] + [momento] · [longitud] = [acción]) se conservan ( constantes de movimiento ).
Ejemplos de
Invariancia temporal
A modo de ilustración, considere un lagrangiano que no depende del tiempo, es decir, que es invariante (simétrico) bajo cambios t → t + δ t , sin ningún cambio en las coordenadas q . En este caso, N = 1, T = 1 y Q = 0; la cantidad conservada correspondiente es la energía total H [7]
Invariancia traslacional
Considere un lagrangiano que no depende de una coordenada q k ("ignorable", como antes) ; por lo que es invariante (simétrico) bajo cambios q k → q k + δq k . En ese caso, N = 1, T = 0 y Q k = 1; la cantidad conservada es el momento lineal correspondiente p k [8]
En la relatividad especial y general , estas leyes de conservación aparentemente separadas son aspectos de una sola ley de conservación, la del tensor de tensión-energía , [9] que se deriva en la siguiente sección.
Invariancia rotacional
La conservación del momento angular L = r × p es análoga a su contraparte del momento lineal. [10] Se supone que la simetría del Lagrangiano es rotacional, es decir, que el Lagrangiano no depende de la orientación absoluta del sistema físico en el espacio. Para ser más concreto, suponga que el Lagrangiano no cambia bajo pequeñas rotaciones de un ángulo δθ alrededor de un eje n ; tal rotación transforma las coordenadas cartesianas por la ecuación
Dado que el tiempo no se está transformando, T = 0. Tomando δθ como el parámetro ε y las coordenadas cartesianas r como las coordenadas generalizadas q , las variables Q correspondientes están dadas por
Entonces el teorema de Noether establece que se conserva la siguiente cantidad,
En otras palabras, se conserva la componente del momento angular L a lo largo del eje n .
Si n es arbitrario, es decir, si el sistema es insensible a cualquier rotación, entonces cada componente de L se conserva; en resumen, se conserva el momento angular .
Versión de la teoría de campo
Aunque útil por derecho propio, la versión del teorema de Noether que se acaba de dar es un caso especial de la versión general derivada en 1915. Para dar una idea del teorema general, una versión del teorema de Noether para campos continuos en espacio-tiempo de cuatro dimensiones ahora se da. Dado que los problemas de la teoría de campos son más comunes en la física moderna que los problemas de mecánica , esta versión de la teoría de campos es la versión más utilizada (o implementada con mayor frecuencia) del teorema de Noether.
Que haya un conjunto de campos diferenciables definido sobre todo el espacio y el tiempo; por ejemplo, la temperaturasería representativo de tal campo, siendo un número definido en cada lugar y momento. El principio de mínima acción se puede aplicar a tales campos, pero la acción ahora es una integral en el espacio y el tiempo.
(el teorema se puede generalizar aún más al caso en que la función de Lagrange depende de hasta el n º derivado, y también se puede formular usando haces de chorro ).
Una transformación continua de los campos puede escribirse infinitesimalmente como
dónde es en general una función que puede depender tanto de y . La condición para generar una simetría física es que la acción se deja invariante. Esto ciertamente será cierto si la densidad lagrangiana se deja invariante, pero también será cierto si el Lagrangiano cambia por una divergencia,
dado que la integral de una divergencia se convierte en un término de frontera según el teorema de la divergencia . Un sistema descrito por una acción dada puede tener múltiples simetrías independientes de este tipo, indexadas por por lo que la transformación de simetría más general se escribiría como
con la consecuencia
Para tales sistemas, el teorema de Noether establece que existen densidades de corriente conservadas
(donde se entiende que el producto escalar contrae los índices de campo , no el índice o índice).
En tales casos, la ley de conservación se expresa en cuatro dimensiones.
que expresa la idea de que la cantidad de una cantidad conservada dentro de una esfera no puede cambiar a menos que algo fluya fuera de la esfera. Por ejemplo, se conserva la carga eléctrica ; la cantidad de carga dentro de una esfera no puede cambiar a menos que parte de la carga salga de la esfera.
A modo de ilustración, considere un sistema físico de campos que se comporta de la misma manera en las traducciones en el tiempo y el espacio, como se consideró anteriormente; en otras palabras,es constante en su tercer argumento. En ese caso, N = 4, uno para cada dimensión de espacio y tiempo. Una traslación infinitesimal en el espacio, (con que denota el delta de Kronecker ), afecta a los campos como: es decir, volver a etiquetar las coordenadas equivale a dejar las coordenadas en su lugar mientras se traduce el campo en sí, lo que a su vez equivale a transformar el campo reemplazando su valor en cada punto con el valor en el punto "detrás" de él que se mapearía en por el desplazamiento infinitesimal considerado. Dado que esto es infinitesimal, podemos escribir esta transformación como
La densidad lagrangiana se transforma de la misma manera, , entonces
y así el teorema de Noether corresponde a la ley de conservación para el tensor tensión-energía T μ ν , [9] donde hemos usado en lugar de . A saber, utilizando la expresión dada anteriormente, y recogiendo las cuatro corrientes conservadas (una para cada) en un tensor , El teorema de Noether da
con
(nosotros re-etiquetamos como en un paso intermedio para evitar conflictos). (Sin embargo, elobtenido de esta manera puede diferir del tensor simétrico utilizado como término fuente en la relatividad general; ver Tensor canónico de tensión-energía .)
La conservación de la carga eléctrica , por el contrario, se puede derivar considerando Ψ lineal en los campos φ en lugar de en las derivadas. [11] En mecánica cuántica , la amplitud de probabilidad ψ ( x ) de encontrar una partícula en un punto x es un campo complejo φ , porque asigna un número complejo a cada punto en el espacio y el tiempo. La amplitud de probabilidad en sí misma es físicamente inconmensurable; solo la probabilidad p = | ψ | 2 se puede inferir de un conjunto de medidas. Por lo tanto, el sistema es invariante bajo transformaciones del campo ψ y su campo conjugado complejo ψ * que dejan | ψ | 2 sin cambios, como
una rotación compleja. En el límite cuando la fase θ se vuelve infinitesimalmente pequeña, δθ , puede tomarse como el parámetro ε , mientras que Ψ son iguales a iψ y - iψ *, respectivamente. Un ejemplo específico es la ecuación de Klein-Gordon , la versión relativistamente correcta de la ecuación de Schrödinger para partículas sin espín, que tiene la densidad lagrangiana.
En este caso, el teorema de Noether establece que la corriente conservada (∂ ⋅ j = 0) es igual a
que, cuando se multiplica por la carga de esa especie de partícula, equivale a la densidad de corriente eléctrica debida a ese tipo de partícula. Esta "invariancia de calibre" fue notada por primera vez por Hermann Weyl , y es uno de los prototipos de simetrías de calibre de la física.
Derivaciones
Una variable independiente
Considere el caso más simple, un sistema con una variable independiente, el tiempo. Suponga que las variables dependientes q son tales que la integral de acción
es invariante bajo breves variaciones infinitesimales en las variables dependientes. En otras palabras, satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Y suponga que la integral es invariante bajo una simetría continua. Matemáticamente, dicha simetría se representa como un flujo , φ , que actúa sobre las variables de la siguiente manera
donde ε es una variable real que indica la cantidad de flujo, y T es una constante real (que podría ser cero) que indica cuánto cambia el flujo en el tiempo.
La acción integral fluye hacia
que puede considerarse una función de ε . Calculando la derivada en ε ' = 0 y usando la regla de Leibniz , obtenemos
Observe que las ecuaciones de Euler-Lagrange implican
Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene
Nuevamente, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos
Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene
Desde donde se puede ver que
es una constante del movimiento, es decir, es una cantidad conservada. Como φ [ q , 0] = q , obtenemos y así la cantidad conservada se simplifica a
Para evitar una complicación excesiva de las fórmulas, esta derivación asumió que el flujo no cambia con el paso del tiempo. Se puede obtener el mismo resultado en el caso más general.
Derivación de la teoría de campos
El teorema de Noether también se puede derivar para campos tensoriales φ A donde el índice A varía entre los diversos componentes de los diversos campos tensoriales. Estas cantidades de campo son funciones definidas sobre un espacio de cuatro dimensiones cuyos puntos están etiquetados por coordenadas x μ donde el índice μ varía en el tiempo ( μ = 0) y tres dimensiones espaciales ( μ = 1, 2, 3). Estas cuatro coordenadas son las variables independientes; y los valores de los campos en cada evento son las variables dependientes. Bajo una transformación infinitesimal, la variación en las coordenadas se escribe
mientras que la transformación de las variables de campo se expresa como
Según esta definición, las variaciones de campo δφ A resultan de dos factores: cambios intrínsecos en el propio campo y cambios en las coordenadas, ya que el campo transformado α A depende de las coordenadas transformadas ξ μ . Para aislar los cambios intrínsecos, se puede definir la variación de campo en un solo punto x μ
Si se cambian las coordenadas, también cambia el límite de la región del espacio-tiempo sobre la que se integra el Lagrangiano; el límite original y su versión transformada se indican como Ω y Ω ', respectivamente.
El teorema de Noether comienza con la suposición de que una transformación específica de las coordenadas y las variables de campo no cambia la acción , que se define como la integral de la densidad lagrangiana sobre la región dada del espacio-tiempo. Expresado matemáticamente, esta suposición se puede escribir como
donde el subíndice de coma indica una derivada parcial con respecto a la (s) coordenada (s) que sigue a la coma, p. ej.
Dado que ξ es una variable ficticia de integración, y dado que el cambio en el límite Ω es infinitesimal por supuesto, las dos integrales pueden combinarse usando la versión de cuatro dimensiones del teorema de divergencia en la siguiente forma
La diferencia en lagrangianos se puede escribir en primer orden en las variaciones infinitesimales como
Sin embargo, debido a que las variaciones se definen en el mismo punto que se describió anteriormente, la variación y la derivada se pueden realizar en orden inverso; ellos conmutan
Usando las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange
la diferencia en lagrangianos se puede escribir claramente como
Por lo tanto, el cambio en la acción se puede escribir como
Dado que esto es válido para cualquier región Ω, el integrando debe ser cero
Para cualquier combinación de las diversas transformaciones de simetría , la perturbación se puede escribir
dónde es la derivada de Lie de φ A en la dirección X μ . Cuando φ A es un escalar o,
Estas ecuaciones implican que la variación de campo tomada en un punto es igual a
Diferenciar la divergencia anterior con respecto a ε en ε = 0 y cambiar el signo produce la ley de conservación
donde la corriente conservada es igual a
Derivación de colector / haz de fibras
Supongamos que tenemos un n -dimensional orientada variedad de Riemann , M y un objetivo colector T . Dejarser el espacio de configuración de funciones suaves de M a T . (De manera más general, podemos tener secciones lisas de un haz de fibras sobre M ).
Ejemplos de esta M en física incluyen:
- En la mecánica clásica , en la formulación hamiltoniana , M es la variedad unidimensional, que representa el tiempo y el espacio objetivo es el paquete cotangente de espacio de posiciones generalizadas.
- En la teoría de campos , M es la variedad del espacio-tiempo y el espacio objetivo es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m reales -valued campos escalares ,, entonces el colector de destino es . Si el campo es un campo vectorial real, entonces la variedad objetivo es isomorfa a.
Ahora suponga que hay un funcional
llamado la acción . (Toma valores en, en vez de ; esto es por razones físicas y no es importante para esta prueba).
Para llegar a la versión habitual del teorema de Noether, necesitamos restricciones adicionales sobre la acción . Asumimoses la integral sobre M de una función
llamada densidad lagrangiana , dependiendo de φ , su derivada y la posición. En otras palabras, para φ en
Suponga que se nos dan condiciones de frontera , es decir, una especificación del valor de φ en la frontera si M es compacto , o algún límite en φ cuando x se acerca a ∞. Entonces el subespacio deque consta de funciones φ tales que todas las derivadas funcionales deen φ son cero, es decir:
y que φ satisface las condiciones de contorno dadas, es el subespacio de las soluciones de capa . (Ver principio de acción estacionaria )
Ahora, suponga que tenemos una transformación infinitesimal en, generado por una derivación funcional , Q tal que
para todas las subvariedades compactas N o, en otras palabras,
para todo x , donde establecemos
Si esto se mantiene dentro y fuera de la cáscara , decimos que Q genera una simetría fuera de cáscara. Si esto solo se cumple en el caparazón , decimos que Q genera una simetría en el caparazón. Entonces, decimos que Q es un generador de un grupo de Lie de simetría de un parámetro .
Ahora, para cualquier N , debido al teorema de Euler-Lagrange , en capa (y solo en capa), tenemos
Dado que esto es cierto para cualquier N , tenemos
Pero esta es la ecuación de continuidad para la corrientedefinido por: [12]
que se llama la corriente de Noether asociada con la simetría . La ecuación de continuidad nos dice que si integramos esta corriente en una porción similar al espacio , obtenemos una cantidad conservada llamada carga de Noether (siempre que, por supuesto, si M no es compacto, las corrientes caen lo suficientemente rápido en el infinito).
Comentarios
El teorema de Noether es un teorema de caparazón : se basa en el uso de las ecuaciones del movimiento: el camino clásico. Refleja la relación entre las condiciones de contorno y el principio variacional. Suponiendo que no hay términos de frontera en la acción, el teorema de Noether implica que
Los análogos cuánticos del teorema de Noether que involucran valores esperados (por ejemplo, ) investigando las cantidades de conchas también son las identidades Ward-Takahashi .
Generalización a álgebras de Lie
Suponga que tenemos dos derivaciones de simetría Q 1 y Q 2 . Entonces, [ Q 1 , Q 2 ] también es una derivación de simetría. Veamos esto explícitamente. Digamos
y
Luego,
donde f 12 = Q 1 [ f 2 μ ] - Q 2 [ f 1 μ ]. Entonces,
Esto muestra que podemos extender el teorema de Noether a álgebras de Lie más grandes de forma natural.
Generalización de la prueba
Esto se aplica a cualquier derivación de simetría local Q que satisfaga QS ≈ 0, y también a acciones diferenciables funcionales locales más generales, incluidas aquellas en las que el Lagrangiano depende de derivadas superiores de los campos. Sea ε cualquier función uniforme arbitraria de la variedad espaciotiempo (o tiempo) tal que el cierre de su soporte sea desarticulado del límite. ε es una función de prueba . Entonces, debido al principio variacional (que no se aplica a la frontera, por cierto), la distribución de derivación q generada por q [ ε ] [Φ ( x )] = ε ( x ) Q [Φ ( x )] satisface q [ ε ] [ S ] ≈ 0 para cada ε , o de manera más compacta, q ( x ) [ S ] ≈ 0 para todo x no en el límite (pero recuerde que q ( x ) es una forma abreviada de una distribución de derivación , no una derivación parametrizada por x en general). Ésta es la generalización del teorema de Noether.
Para ver cómo se relaciona la generalización con la versión dada arriba, suponga que la acción es la integral espaciotemporal de un Lagrangiano que solo depende de φ y sus primeras derivadas. Además, asume
Luego,
para todos .
De manera más general, si el Lagrangiano depende de derivadas superiores, entonces
Ejemplos de
Ejemplo 1: Conservación de energía
Observando el caso específico de una partícula newtoniana de masa m , coordenada x , moviéndose bajo la influencia de un potencial V , coordinado por el tiempo t . La acción , S , es:
El primer término entre paréntesis es la energía cinética de la partícula, mientras que el segundo es su energía potencial . Considere el generador de traducciones de tiempo Q = d / dt . En otras palabras,. La coordenada x tiene una dependencia explícita del tiempo, mientras que V no; como consecuencia:
para que podamos establecer
Luego,
El lado derecho es la energía, y el teorema de Noether establece que (es decir, el principio de conservación de la energía es una consecuencia de la invariancia en las traducciones de tiempo).
De manera más general, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la cantidad
(llamado hamiltoniano ) se conserva.
Ejemplo 2: Conservación del centro de impulso
Aún considerando el tiempo unidimensional, dejemos
or Newtonian particles where the potential only depends pairwise upon the relative displacement.
For , consider the generator of Galilean transformations (i.e. a change in the frame of reference). In other words,
And
This has the form of so we can set
Then,
where is the total momentum, M is the total mass and is the center of mass. Noether's theorem states:
Example 3: Conformal transformation
Both examples 1 and 2 are over a 1-dimensional manifold (time). An example involving spacetime is a conformal transformation of a massless real scalar field with a quartic potential in (3 + 1)-Minkowski spacetime.
For Q, consider the generator of a spacetime rescaling. In other words,
The second term on the right hand side is due to the "conformal weight" of . And
This has the form of
(where we have performed a change of dummy indices) so set
Then
Noether's theorem states that (as one may explicitly check by substituting the Euler–Lagrange equations into the left hand side).
If one tries to find the Ward–Takahashi analog of this equation, one runs into a problem because of anomalies.
Aplicaciones
Application of Noether's theorem allows physicists to gain powerful insights into any general theory in physics, by just analyzing the various transformations that would make the form of the laws involved invariant. For example:
- the invariance of physical systems with respect to spatial translation (in other words, that the laws of physics do not vary with locations in space) gives the law of conservation of linear momentum;
- invariance with respect to rotation gives the law of conservation of angular momentum;
- invariance with respect to time translation gives the well-known law of conservation of energy
In quantum field theory, the analog to Noether's theorem, the Ward–Takahashi identity, yields further conservation laws, such as the conservation of electric charge from the invariance with respect to a change in the phase factor of the complex field of the charged particle and the associated gauge of the electric potential and vector potential.
The Noether charge is also used in calculating the entropy of stationary black holes.[13]
Ver también
- Conservation law
- Charge (physics)
- Gauge symmetry
- Gauge symmetry (mathematics)
- Invariant (physics)
- Goldstone boson
- Symmetry in physics
Notas
- ^ This is sometimes referred to as Noether's first theorem, see Noether's second theorem.
- ^ Noether, E. (1918). "Invariante Variationsprobleme". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1918: 235–257.
- ^ Cosserat, E.; Cosserat, F. (1909). Théorie des corps déformables. Paris: Hermann.
- ^ Thompson, W.J. (1994). Angular Momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems. 1. Wiley. p. 5. ISBN 0-471-55264-X.
- ^ The term "Noether charge" occurs in Seligman, Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City, American Institute of Physics, 1981. It comes enters wider use during the 1980s, e.g. by G. Takeda in: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman, 1985, p. 196.
- ^ Nina Byers (1998) "E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws". In Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, held on 2–4 December 1996, at the Bar-Ilan University, Israel, Appendix B.
- ^ Lanczos 1970, pp. 401–403
- ^ Lanczos 1970, pp. 403–404
- ^ a b Goldstein 1980, pp. 592–593
- ^ Lanczos 1970, pp. 404–405
- ^ Goldstein 1980, pp. 593–594
- ^ Michael E. Peskin; Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Basic Books. p. 18. ISBN 0-201-50397-2.
- ^ Vivek Iyer; Wald (1995). "A comparison of Noether charge and Euclidean methods for Computing the Entropy of Stationary Black Holes". Physical Review D. 52 (8): 4430–9. arXiv:gr-qc/9503052. Bibcode:1995PhRvD..52.4430I. doi:10.1103/PhysRevD.52.4430. PMID 10019667. S2CID 2588285.
Referencias
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