En matemáticas , más específicamente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales izquierdo y derecho ; es decir, dada cualquier secuencia creciente de ideales de izquierda (o derecha):
La noción de anillo noetheriano es de fundamental importancia tanto en la teoría de anillos conmutativa como en la no conmutativa , debido al papel que desempeña en la simplificación de la estructura ideal de un anillo. Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo polinomial sobre un campo son anillos noetherianos y, en consecuencia, teoremas como el teorema de Lasker-Noether , el teorema de la intersección de Krull y el teorema de la base de Hilbert son válidos para ellos. Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en los ideales primarios.. Esta propiedad sugiere una teoría profunda de la dimensión para los anillos noetherianos que comienza con la noción de la dimensión de Krull .
Para los anillos conmutativos , los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son noetherianos de izquierda y no noetherianos de derecha, y viceversa.
La siguiente condición también es una condición equivalente para que un anillo R sea noetheriano izquierdo y es la formulación original de Hilbert: [2]
Para que un anillo conmutativo sea noetheriano, basta con que cada ideal principal del anillo se genere de manera finita. [3]
Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. A continuación, se muestran algunos ejemplos de anillos no noetherianos: