En matemáticas , y más específicamente en la teoría de C * -álgebras , los toros no conmutativos A θ , también conocidos como álgebras de rotación irracional para valores irracionales de θ, forman una familia de C * -álgebras no conmutativas que generalizan el álgebra de funciones continuas en el 2-toro . Muchas propiedades topológicas y geométricas del 2-toro clásico tienen análogos algebraicos para los toros no conmutativos y, como tales, son ejemplos fundamentales de un espacio no conmutativo en el sentido de Alain Connes .
Definición
Para cualquier número real θ , el toro no conmutativo es la C * -subálgebra de , el álgebra de operadores lineales acotados de funciones cuadradas integrables en el círculo unitario , generado por dos operadores unitarios
dónde es la parametrización del círculo en . Un cálculo rápido muestra que VU = e −2π i θ UV . [1]
Caracterizaciones alternativas
- Propiedad universal: A θ se puede definir (hasta isomorfismo) como el C * -álgebra universal generada por dos elementos unitarios U y V que satisfacen la relación VU = e 2π i θ UV . [1] Esta definición se extiende al caso en que θ es racional. En particular, cuando θ = 0, A θ es isomorfo a funciones continuas en el 2-toro por la transformada de Gelfand .
- Álgebra de rotación irracional: Dejemos que el grupo cíclico infinito Z actúe sobre el círculo S 1 por la acción de rotación del ángulo 2 π iθ . Esto induce una acción de Z por automorfismos sobre el álgebra de funciones continuas C ( S 1 ). El C resultante * - cruzado producto C ( S 1 ) ⋊ Z es isomorfo a A θ . Los unitarios de generación son el generador del grupo Z y la función identidad en el círculo z : S 1 → C . [1]
- Álgebra de grupos retorcidos: La función σ: Z 2 × Z 2 → C ; σ (( m , n ), ( p , q )) = e 2π inpθ es un ciclo de grupo 2 en Z 2 , y el correspondiente álgebra de grupo retorcido C * ( Z 2 ; σ ) es isomorfo a A θ .
Propiedades
- Cada álgebra de rotación irracional A θ es simple, es decir, no contiene ningún ideal cerrado apropiado de dos caras que no seay sí mismo. [1]
- Cada álgebra de rotación irracional tiene un estado tracial único . [1]
- Las álgebras de rotación irracional son nucleares .
Clasificación y teoría K
La teoría K de A θ es Z 2 tanto en dimensión par como impar, por lo que no distingue las álgebras de rotación irracional. Sino como un grupo ordenado , K 0 ≃ Z + θ Z . Por lo tanto, dos tori no conmutativos A θ y A η son isomorfos si y solo si θ + η o θ - η es un número entero. [1] [2]
Dos álgebras de rotación irracional A θ y A η son fuertemente equivalentes de Morita si y solo si θ y η están en la misma órbita de la acción de SL (2, Z ) sobre R por transformaciones lineales fraccionarias . En particular, los toros no conmutativos con θ racional son Morita equivalente al toro clásico. Por otro lado, los toros no conmutativos con θ irracional son simples C * -álgebras. [2]
Referencias
- ↑ a b c d e f Davidson, Kenneth (1997). C * -Álgebras por ejemplo . Instituto Fields. págs. 166, 218–219, 234. ISBN 0-8218-0599-1.
- ^ a b Rieffel, Marc A. (1981). "C * -Álgebras asociadas a rotaciones irracionales" (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 93 (2): 415–429 [416]. doi : 10.2140 / pjm.1981.93.415 . Consultado el 28 de febrero de 2013 .