En matemáticas , la teoría K del operador es un análogo no conmutativo de la teoría K topológica para las álgebras de Banach y la mayoría de las aplicaciones se utilizan para las álgebras C * .
Resumen
La teoría K del operador se parece más a la teoría K topológica que la teoría K algebraica . En particular, se cumple un teorema de periodicidad de Bott . Entonces, solo hay dos grupos K, a saber, K 0 , que es igual al algebraico K 0 y K 1 . Como consecuencia del teorema de periodicidad, satisface la escisión . Esto significa que se asocia a una extensión de C * -álgebras a una secuencia larga exacta , que, por periodicidad de Bott, se reduce a una secuencia cíclica exacta de 6 términos.
La teoría K del operador es una generalización de la teoría K topológica , definida por medio de paquetes de vectores en espacios de Hausdorff localmente compactos . Aquí, un paquete de vectores sobre un espacio topológico X se asocia a una proyección en el álgebra C * de valores matriciales, es decir,-valued-continuas funciones sobre X . Además, se sabe que el isomorfismo de los paquetes de vectores se traduce en la equivalencia de Murray-von Neumann de la proyección asociada en K ⊗ C ( X ), donde K son los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable.
Por lo tanto, el grupo K 0 de una (no necesariamente conmutativa) C * -álgebra A se define como el grupo de Grothendieck generado por las clases de equivalencia de proyecciones de Murray-von Neumann en K ⊗ C ( X ). K 0 es un funtor de la categoría de C * -álgebras y * -homomorfismos, a la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Los K-functores superiores se definen mediante una versión C * de la suspensión: K n ( A ) = K 0 ( S n ( A )), donde SA = C 0(0,1) ⊗ A .
Sin embargo, por la periodicidad de Bott, resulta que K n +2 ( A ) y K n ( A ) son isomorfos para cada n , y por lo tanto los únicos grupos producidos por esta construcción son K 0 y K 1 .
La razón clave para la introducción de los métodos de la teoría K en el estudio de las álgebras C * fue el índice de Fredholm : dado un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert que tiene kernel y cokernel de dimensión finita, se le puede asociar un número entero, que, como resultado, refleja el "defecto" del operador, es decir, la medida en que no es invertible. El mapa del índice de Fredholm aparece en la secuencia exacta de 6 términos dada por el álgebra de Calkin . En el análisis de variedades, este índice y sus generalizaciones jugaron un papel crucial en la teoría del índice de Atiyah y Singer, donde el índice topológico de la variedad se puede expresar a través del índice de operadores elípticos en él. Más tarde, Brown , Douglas yFillmore observó que el índice de Fredholm era el ingrediente que faltaba en la clasificación de operadores esencialmente normales hasta cierta equivalencia natural. Estas ideas, junto con la clasificación de Elliott de AF C * -álgebras a través de la teoría K, llevaron a un gran interés en adaptar métodos como la teoría K de la topología algebraica al estudio de los álgebras de operadores.
Esto, a su vez, condujo a K-homología , Kasparov 'bivariante s KK-teoría , y, más recientemente, Connes y Higson ' s E-teoría .
Referencias
- Rordam, M .; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000), Introducción a K -teoría de C * -álgebras , London Mathematical Society Estudiante Textos, 49 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78334-7
