En la teoría matemática de los sistemas dinámicos , una rotación irracional es un mapa
donde θ es un número irracional . Bajo la identificación de un círculo con R / Z , o con el intervalo [0, 1] con los puntos límite pegados, este mapa se convierte en una rotación de un círculo en una proporción θ de una revolución completa (es decir, un ángulo de 2 πθ radianes). Dado que θ es irracional, la rotación tiene un orden infinito en el grupo circular y el mapa T θ no tiene órbitas periódicas .
Alternativamente, podemos usar la notación multiplicativa para una rotación irracional introduciendo el mapa
La relación entre las notaciones aditivas y multiplicativas es el isomorfismo de grupo.
- .
Se puede demostrar que φ es una isometría .
Existe una fuerte distinción en las rotaciones de los círculos que depende de si θ es racional o irracional. Las rotaciones racionales son ejemplos menos interesantes de sistemas dinámicos porque si y , luego Cuándo . También se puede demostrar que Cuándo .
Significado
Las rotaciones irracionales constituyen un ejemplo fundamental en la teoría de sistemas dinámicos . De acuerdo con el teorema de Denjoy , todo difeomorfismo C 2 que conserva la orientación del círculo con un número de rotación irracional θ se conjuga topológicamente con T θ . Una rotación irracional es una transformación ergódica que preserva la medida , pero no se mezcla . El mapa de Poincaré para el sistema dinámico asociado con la foliación de Kronecker en un toro con ángulo θ es la rotación irracional por θ . Las álgebras C * asociadas con rotaciones irracionales, conocidas como álgebras de rotación irracional , han sido ampliamente estudiadas.
Propiedades
- Si θ es irracional, entonces la órbita de cualquier elemento de [0,1] bajo la rotación T θ es densa en [0,1] . Por tanto, las rotaciones irracionales son topológicamente transitivas .
- Si θ es irracional, entonces T θ es exclusivamente ergódico .
- Las rotaciones irracionales (y racionales) no se mezclan topológicamente .
- Las rotaciones irracionales son ergódicas con respecto a la medida de Lebesgue.
- Las rotaciones irracionales son exclusivamente ergódicas, y la medida de Lebesgue sirve como medida de probabilidad invariante única.
- Suponga [ a , b ] ⊂ [0,1] . Dado que T θ es ergódico,
.
Generalizaciones
- Las rotaciones de círculo son ejemplos de traducciones grupales .
- Para una orientación general que conserva el homomorfismo f de S 1 a sí mismo, lo llamamos homeomorfismoun levantamiento de f si dónde . [1]
- La rotación del círculo se puede considerar como una subdivisión de un círculo en dos partes, que luego se intercambian entre sí. Una subdivisión en más de dos partes, que luego se permuta entre sí, se denomina transformación de intercambio de intervalo .
- Las rotaciones rígidas de grupos compactos se comportan efectivamente como rotaciones circulares; la medida invariante es la medida Haar .
Aplicaciones
- Productos sesgados sobre rotaciones del círculo: en 1969 [2] William A. Veech construyó ejemplos de sistemas dinámicos mínimos y no exclusivamente ergódicos de la siguiente manera: "Tome dos copias del círculo unitario y marque el segmento J de longitud 2 πα en sentido antihorario dirección en cada uno con el punto final en 0. Ahora tome θ irracional y considere el siguiente sistema dinámico. Comience con un punto p , digamos en el primer círculo. Gire en sentido antihorario 2 πθ hasta la primera vez que la órbita aterrice en J ; luego cambie a el punto correspondiente en el segundo círculo, rotar 2 πθ hasta que la primera vez que el punto aterrice en J ; volver al primer círculo y así sucesivamente. Veech demostró que si θ es irracional, entonces existe un α irracional para el cual este sistema es mínima y la medida de Lebesgue no es exclusivamente ergódica ". [3]
Ver también
Referencias
- ^ Fisher, Todd (2007). "Homomorfismos de círculo" (PDF) .
- ^ Veech, William (agosto de 1968). "Un módulo 2 del teorema de Kronecker-Weyl" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 60 (4): 1163-1164. Código Bibliográfico : 1968PNAS ... 60.1163V . doi : 10.1073 / pnas.60.4.1163 . PMC 224897 . PMID 16591677 .
- ^ Masur, Howard; Tabachnikov, Serge (2002). "Billares racionales y estructuras planas". En Hasselblatt, B .; Katok, A. (eds.). Manual de sistemas dinámicos (PDF) . IA . Elsevier.
Otras lecturas
- CE Silva, Invitación a la teoría ergódica , Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society , 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5