En matemáticas , y más específicamente en la teoría de las álgebras de von Neumann , un producto cruzado es un método básico para construir una nueva álgebra de von Neumann a partir de un álgebra de von Neumann sobre la que actúa un grupo . Está relacionado con la construcción de productos semidirectos para grupos. (En términos generales, el producto cruzado es la estructura esperada para un anillo de grupo de un grupo de productos semidirecto. Por lo tanto, los productos cruzados también tienen un aspecto de teoría del anillo . Este artículo se concentra en un caso importante, donde aparecen en el análisis funcional ).
Motivación
Recuerde que si tenemos dos grupos finitos y N con una acción de G sobre N podemos formar el producto semidirecto. Este contiene N como un subgrupo normal , y la acción de G sobre N viene dada por conjugación en el producto semidirecto. Podemos reemplazar N por su álgebra de grupo compleja C [ N ], y nuevamente formar un productoEn una forma similar; este álgebra es una suma de subespacios gC [ N ] cuando g pasa por los elementos de G , y es el álgebra de grupo de. Podemos generalizar más esta construcción reemplazando C [ N ] por cualquier álgebra A sobre la que actúa G para obtener un producto cruzado, que es la suma de los subespacios gA y donde la acción de G sobre A viene dada por conjugación en el producto cruzado.
El producto cruzado de un álgebra de von Neumann por un grupo G que actúa sobre él es similar, excepto que debemos tener más cuidado con las topologías y debemos construir un espacio de Hilbert sobre el que actúe el producto cruzado. (Tenga en cuenta que el producto cruzado del álgebra de von Neumann suele ser más grande que el producto cruzado algebraico discutido anteriormente; de hecho, es una especie de finalización del producto cruzado algebraico).
En física, esta estructura aparece en presencia del llamado grupo gauge del primer tipo. G es el grupo de calibre y N el álgebra de "campo". Los observables se definen entonces como los puntos fijos de N bajo la acción de G . Un resultado de Doplicher, Haag y Roberts dice que bajo algunos supuestos, el producto cruzado se puede recuperar del álgebra de observables.
Construcción
Supongamos que A es un álgebra de von Neumann de los operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert H y G es un grupo discreto que actúa sobre A . Dejamos que K sea el espacio de Hilbert de todos sumable cuadrado H -valued funciones en G . Hay una acción de A sobre K dada por
- una (k) (g) = g −1 (a) k (g)
para k en K , g , h en G y a en A , y hay una acción de G sobre K dada por
- g (k) (h) = k (g −1 h).
El producto cruzado es el álgebra de actuación von Neumann en K generada por las acciones de A y G sobre K . No depende (hasta isomorfismo) en la elección del espacio de Hilbert H .
Esta construcción se puede ampliar para que funcione con cualquier grupo G localmente compacto que actúe sobre cualquier álgebra A de von Neumann . Cuándoes un álgebra abeliana de von Neumann , esta es la construcción espacial original de medida de grupo de Murray y von Neumann .
Propiedades
Dejamos que G sea un grupo discreto numerable infinito que actúa sobre el álgebra A abeliana de von Neumann . La acción se llama libre si A no tiene proyecciones p distintas de cero, de modo que alguna g no trivial fija todos los elementos de pAp . La acción se llama ergódica si las únicas proyecciones invariantes son 0 y 1. Por lo general, A puede identificarse como el álgebra abeliana de von Neumann.de funciones esencialmente limitadas en un espacio de medida X sobre el que actúa G , y entonces la acción de G sobre X es ergódica (para cualquier subconjunto invariante medible, el subconjunto o su complemento tiene medida 0) si y solo si la acción de G sobre A es ergódico.
Si la acción de G sobre A es libre y ergódica, entonces el producto cruzadoes un factor. Es más:
- El factor es de tipo I si A tiene una proyección mínima tal que 1 es la suma de los conjugados G de esta proyección. Esto corresponde a que la acción de G sobre X sea transitiva. Ejemplo: X son los enteros y G es el grupo de enteros que actúan por traslación.
- El factor tiene tipo II 1 si A tiene una traza invariante G normal finita fiel . Esto corresponde a X que tienen un finito G medida invariante, absolutamente continua con respecto a la medida en X . Ejemplo: X es el círculo unitario en el plano complejo y G es el grupo de todas las raíces de la unidad.
- El factor tiene el tipo II ∞ si no es de los tipos I o II 1 y tiene una traza G- invariante normal semifinita fiel. Esto corresponde a X que tienen una infinita G medida invariante sin átomos, absolutamente continua con respecto a la medida en X . Ejemplo: X es la línea real y G es el grupo de racionales que actúan por traslación.
- El factor tiene tipo III si A no tiene una traza invariante G normal semifinita fiel. Esto corresponde a que X no tiene una medida invariante de G absolutamente continua distinta de cero . Ejemplo: X es la línea real, y G es el grupo de todas las transformaciones ax + b para un y b racional, un no-cero.
En particular, se pueden construir ejemplos de todos los diferentes tipos de factores como productos cruzados.
Dualidad
Si es un álgebra de von Neumann en la que un abeliano localmente compacto actúa, entonces , el grupo dual de personajes de , actos de unitarios sobre :
Estos unitarios normalizan el producto cruzado, definiendo la acción dual de. Junto con el producto cruzado, generan, que se puede identificar con el producto cruzado iterado por la acción dual . Bajo esta identificación, la doble acción dual de (el grupo dual de ) corresponde al producto tensorial de la acción original en y conjugación de los siguientes unitarios en :
El producto cruzado puede identificarse con el álgebra de punto fijo de la doble acción dual. Más generalmentees el álgebra de punto fijo de en el producto cruzado.
Declaraciones similares se mantienen cuando es reemplazado por un grupo localmente compacto no abeliano o más generalmente un grupo cuántico localmente compacto , una clase de álgebra de Hopf relacionada con las álgebras de von Neumann . También se ha desarrollado una teoría análoga para acciones sobre álgebras C * y sus productos cruzados.
La dualidad apareció por primera vez para las acciones de los reales en el trabajo de Connes y Takesaki sobre la clasificación de los factores de Tipo III . Según la teoría de Tomita-Takesaki , cada vector que es cíclico para el factor y su conmutador da lugar a un grupo de automorfismo modular de 1 parámetro . El producto cruzado correspondiente es un tipo El álgebra de von Neumann y la acción dual correspondiente se restringe a una acción ergódica de los reales en su centro, un álgebra de Abelian von Neumann . Este flujo ergódico se llama flujo de pesos ; es independiente de la elección del vector cíclico. El espectro de Connes , un subgrupo cerrado de los reales positivos ℝ + , se obtiene aplicando el exponencial al núcleo de este flujo.
- Cuando el núcleo es la totalidad de , el factor es el tipo .
- Cuando el kernel es por en (0,1), el factor es tipo .
- Cuando el kernel es trivial, el factor es el tipo .
Connes y Haagerup demostraron que el espectro de Connes y el flujo de pesos son invariantes completos de factores hiperfinitos de Tipo III . A partir de esta clasificación y los resultados de la teoría ergódica , se sabe que todo factor hiperfinito de dimensión infinita tiene la forma por alguna acción ergódica libre de .
Ejemplos de
- Si tomamos el álgebra A como los números complejos C , entonces el producto cruzadose llama el grupo álgebra de von Neumann de G .
- Si G es un grupo discreto infinito tal que cada clase de conjugación tiene un orden infinito, entonces el álgebra de grupo de von Neumann es un factor de tipo II 1 . Además, si cada conjunto finito de elementos de G genera un subgrupo finito (o más generalmente si G es susceptible), entonces el factor es el factor hiperfinito de tipo II 1 .
Ver también
Referencias
- Takesaki, Masamichi (2002), Teoría de las álgebras operativas I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42248-8, ISBN 3-540-42914-X (II), ISBN 3-540-42913-1 (III)
- Connes, Alain (1994), geometría no conmutativa , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
- Pedersen, Gert Kjaergard (1979), C * -algebras y sus grupos de automorfismos , London Math. Soc. Monografías, 14 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-549450-2