En matemáticas , el estudio de valores especiales de funciones L es un subcampo de la teoría de números dedicado a generalizar fórmulas como la fórmula de Leibniz para pi , a saber
por el reconocimiento de que la expresión en el lado izquierdo también es L (1) donde L ( s ) es la función L de Dirichlet para el campo gaussiano . Esta fórmula es un caso especial de la fórmula del número de clase analítica , y en esos términos se lee que el campo gaussiano tiene el número de clase 1 y también contiene cuatro raíces de unidad , por lo que representa el factor ¼.
Conjeturas
Hay dos familias de conjeturas, formulados para las clases generales de L -Funciones (ajuste muy general para ser L -Funciones L ( s ) asociados a motivos Chow sobre los campos de número ), la división en dos reflejan las cuestiones de:
- (a) cómo reemplazar π en la fórmula de Leibniz por algún otro número "trascendental" (sea o no todavía posible que la teoría trascendental de los números proporcione una prueba de la trascendencia); y
- (b) cómo generalizar el factor racional en la fórmula (número de clase dividido por el número de raíces de la unidad) mediante alguna construcción algebraica de un número racional que representará la razón entre el valor de la función L y el factor "trascendental".
Se dan explicaciones subsidiarias para los valores enteros de n para los cuales se puede esperar que se cumplan tales fórmulas L ( n ).
Las conjeturas para (a) se llaman conjeturas de Beilinson , para Alexander Beilinson . [1] [2] La idea es abstraerse del regulador de un campo numérico a algún "regulador superior" (el regulador de Beilinson ), un determinante construido sobre un espacio vectorial real que proviene de la teoría K algebraica .
Las conjeturas para (b) se denominan conjeturas de Bloch-Kato para valores especiales (para Spencer Bloch y Kazuya Kato - NB, este círculo de ideas es distinto de la conjetura de Bloch-Kato de la teoría K, extendiendo la conjetura de Milnor , una prueba de que se anunció en 2009). En aras de una mayor claridad, también se les llama la conjetura del número de Tamagawa , un nombre que surge a través de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer y su formulación como una curva elíptica análoga del problema del número de Tamagawa para grupos algebraicos lineales . [3] En una extensión adicional, se ha formulado la conjetura del número de Tamagawa equivariante (ETNC), para consolidar la conexión de estas ideas con la teoría de Iwasawa , y su llamada conjetura principal .
Estado actual
Se sabe que todas estas conjeturas son ciertas sólo en casos especiales.
Ver también
Notas
Referencias
- Kings, Guido (2003), "La conjetura de Bloch-Kato sobre valores especiales de las funciones L. Un estudio de resultados conocidos" , Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179-198, doi : 10.5802 / jtnb .396 , ISSN 1246-7405 , MR 2019010
- "Conjeturas de Beilinson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- "K-functor en geometría algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Mathar, Richard J. (2010). "Tabla de funciones de Dirichlet L-Series y Prime Zeta Modulo para pequeños módulos". arXiv : 1008.2547 [ matemáticas.NT ].
enlaces externos
- L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (funciones L y las conjeturas de Deligne y Beilsnson)