En matemáticas , una función continua en ninguna parte , también llamada función discontinua en todas partes , es una función que no es continua en ningún punto de su dominio . Si f es una función de números reales a números reales, entonces f no es continua en ninguna parte si para cada punto x hay un ε > 0 tal que para cada δ > 0 podemos encontrar un punto y tal que 0 <| x - y | < δ y | F( x ) - f ( y ) | ≥ ε . Por lo tanto, no importa qué tan cerca estemos de un punto fijo, hay puntos aún más cercanos en los que la función toma valores no cercanos.
Se pueden obtener definiciones más generales de este tipo de función, reemplazando el valor absoluto por la función de distancia en un espacio métrico , o usando la definición de continuidad en un espacio topológico .
Función de dirichlet
Un ejemplo de tal función es la función indicadora de los números racionales , también conocida como función de Dirichlet . Esta función se denota como I Q o 1 Q y tiene dominio y codominio ambos iguales a los números reales . I Q ( x ) es igual a 1 si x es un número racional y 0 si x no es racional.
De manera más general, si E es cualquier subconjunto de un espacio topológico X tal que tanto E como el complemento de E son densos en X , entonces la función de valor real que toma el valor 1 en E y 0 en el complemento de E no estará en ninguna parte. continuo. Las funciones de este tipo fueron investigadas originalmente por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . [1]
Caracterización hiperreal
Una función real f no es continua en ninguna parte si su extensión hiperreal natural tiene la propiedad de que cada x está infinitamente cerca de a y tal que la diferencia f ( x ) - f ( y ) es apreciable (es decir, no infinitesimal ).
Ver también
- Teorema de Blumberg : incluso si una función real f : ℝ → ℝ no es continua en ninguna parte, hay un subconjunto denso D de ℝ tal que la restricción de f a D es continua.
- Función de Thomae (también conocida como función de palomitas de maíz): una función que es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales.
- Función de Weierstrass : una función continua en todas partes (dentro de su dominio) y diferenciable en ninguna parte.
Referencias
- ^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157-169.
enlaces externos
- "Función de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Función Dirichlet - de MathWorld
- La función de Dirichlet Modificado Archivado 05/02/2019 en la Wayback Machine por George Beck, el Proyecto de Demostración Wolfram .