La función de Thomae , que lleva el nombre de Carl Johannes Thomae , tiene muchos nombres: la función de palomitas de maíz , la función de gota de lluvia , la función de nube contable , la función de Dirichlet modificada , la función de regla , [1] la función de Riemann o las estrellas sobre Babilonia ( John Horton El nombre de Conway ). [2] Este verdadero -valued función de una variable real se puede definir como: [3]
Dado que cada número racional tiene una representación única con coprime (también denominado primo relativo) y , la función está bien definida . Tenga en cuenta que es el único número en eso es coprime a
Es una modificación de la función de Dirichlet , que es 1 en números racionales y 0 en otros lugares.
Propiedades
- Función de Thomae está acotado y asigna todos los números reales al intervalo unitario :
- es periódica con períodopara todos los enteros ny todos los reales x .
Prueba de periodicidad |
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Para todos también tenemos y por lo tanto Para todos allí existe y tal que y Considerar . Si divide y , divide y . Por el contrario, si divide y , divide y . Entonces, y . |
- es discontinuo en todos los números racionales, denso dentro de los números reales.
Prueba de discontinuidad en números racionales |
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Dejar ser un número racional arbitrario, con y y coprime. Esto establece Dejar Sea cualquier número irracional y defina para todos Estas son todos irracionales, por lo que para todos Esto implica y Dejar y dado dejar Para el correspondiente tenemos
que es exactamente la definición de discontinuidad de a . |
- es continuo en todos los números irracionales , también denso dentro de los números reales.
Prueba de continuidad en argumentos irracionales. |
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Desde es periódica con período y basta con comprobar todos los puntos irracionales en Asume ahora y Según la propiedad de Arquímedes de los reales, existe con y existen tal que por tenemos La distancia mínima de a su i -ésimo límite inferior y superior es igual a Definimos como el mínimo de todos los finitos
para todos y Es decir, todos estos números racionales están fuera del -barrio de Ahora deja con la representación única dónde son coprime. Entonces, necesariamente, y por lo tanto, Asimismo, para todos los irracionales y así, si entonces cualquier elección de (suficientemente pequeña) da Por lo tanto, es continuo en |
- no es diferenciable en ninguna parte .
Prueba de no ser diferenciable en ninguna parte |
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- tiene un máximo local estricto en cada número racional. [ cita requerida ]
- Vea las pruebas de continuidad y discontinuidad arriba para la construcción de vecindarios apropiados , dondetiene maxima.
- ¿Es Riemann integrable en cualquier intervalo y la integral se evalúa como sobre cualquier conjunto.
- El criterio de Lebesgue para la integrabilidad establece que una función acotada es integrable de Riemann si y solo si el conjunto de todas las discontinuidades tiene medida cero . [4] Cada subconjunto contable de los números reales, como los números racionales, tiene medida cero, por lo que la discusión anterior muestra que la función de Thomae es integrable de Riemann en cualquier intervalo. La integral de la función es igual a sobre cualquier conjunto porque la función es igual a cero en casi todas partes .
Distribuciones de probabilidad relacionadas
Las distribuciones de probabilidad empírica relacionadas con la función de Thomae aparecen en la secuenciación del ADN . [5] El genoma humano es diploide y tiene dos hebras por cromosoma. Cuando se secuencia, se generan pequeñas piezas ("lecturas"): para cada punto del genoma, un número entero de lecturas se superpone con él. Su relación es un número racional y, por lo general, se distribuye de manera similar a la función de Thomae.
Si pares de enteros positivos se muestrean de una distribución y se utiliza para generar ratios , esto da lugar a una distribución en los números racionales. Si los enteros son independientes, la distribución puede verse como una convolución sobre los números racionales,. Existen soluciones de forma cerrada para distribuciones de ley de potencia con un corte. Si (dónde es la función polilogaritmo ) entonces. En el caso de distribuciones uniformes en el set , que es muy similar a la función de Thomae. Ambos gráficos tienen una dimensión fractal 3/2. [5]
La función de la regla
Para enteros, el exponente de la mayor potencia de 2 dividiendo da 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (secuencia A007814 en la OEIS ). Si se suma 1, o si se eliminan los 0, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (secuencia A001511 en el OEIS ). Los valores se asemejan a las marcas de verificación en una regla graduada de 1/16 , de ahí el nombre. Estos valores corresponden a la restricción de la función de Thomae a los racionales diádicos : aquellos números racionales cuyos denominadores son potencias de 2.
Funciones relacionadas
Una pregunta de seguimiento natural que uno podría hacer es si hay una función que sea continua en los números racionales y discontinua en los números irracionales. Esto resulta imposible; el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser un conjunto F σ . Si existiera tal función, entonces los irracionales serían un conjunto F σ . Los irracionales serían entonces la unión contable de conjuntos cerrados , pero como los irracionales no contienen un intervalo, ni ninguno de los . Por tanto, cada uno de losno sería denso en ninguna parte, y los irracionales serían un conjunto exiguo . Se seguiría que los números reales, al ser una unión de lo irracional y lo racional (que evidentemente es exiguo), también sería un conjunto exiguo. Esto contradiría el teorema de la categoría de Baire : debido a que los reales forman un espacio métrico completo , forman un espacio de Baire , que no puede ser exiguo en sí mismo.
Se puede usar una variante de la función de Thomae para mostrar que cualquier subconjunto F σ de los números reales puede ser el conjunto de discontinuidades de una función. Si es una unión contable de conjuntos cerrados , definir
Entonces, un argumento similar al de la función de Thomae muestra que tiene A como su conjunto de discontinuidades.
Para una construcción general sobre el espacio métrico arbitrario, vea este artículo Kim, Sung Soo. "Una caracterización del conjunto de puntos de continuidad de una función real". American Mathematical Monthly 106.3 (1999): 258-259.
Ver también
- Teorema de Blumberg
- Función de cantor
- Función de dirichlet
- Huerto de Euclides : la función de Thomae se puede interpretar como un dibujo en perspectiva del huerto de Euclides
- Función de Volterra
Notas
- ^ "... la llamada función de la regla , un ejemplo simple pero provocativo que apareció en una obra de Johannes Karl Thomae ... El gráfico sugiere las marcas verticales en una regla, de ahí el nombre". ( Dunham 2008 , p. 149, capítulo 10)
- ^ John Conway. "Tema: Procedencia de una función" . El Foro de Matemáticas. Archivado desde el original el 13 de junio de 2018.
- ^ Beanland, Roberts y Stevenson 2009 , p. 531
- ↑ Spivak , 1965 , p. 53, Teorema 3-8
- ^ a b Trifonov, Vladimir; Pasqualucci, Laura; Dalla-Favera, Riccardo; Rabadan, Raúl (2011). "Distribuciones de tipo fractal sobre los números racionales en datos biológicos y clínicos de alto rendimiento" . Informes científicos . 1 (191). doi : 10.1038 / srep00191 . PMC 3240948 . PMID 22355706 .
Referencias
- Abbott, Stephen (2016), Understanding Analysis (reimpresión de tapa blanda de la segunda edición original), Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4939-5026-3
- Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (1999), Introducción al análisis real (3a ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-32148-4 (Ejemplo 5.1.6 (h))
- Beanland, Kevin; Roberts, James W .; Stevenson, Craig (2009), "Modificaciones de la función y diferenciabilidad de Thomae", The American Mathematical Monthly , 116 (6): 531–535, doi : 10.4169 / 193009709x470425 , JSTOR 40391145
- Dunham, William (2008), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue (edición de bolsillo), Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13626-4
- Spivak, M. (1965), Cálculo de variedades , Perseus Books, ISBN 978-0-8053-9021-6
enlaces externos
- "Función de Dirichlet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Función de Dirichlet" . MathWorld .