En matemáticas , la integral Nørlund-Rice , a veces llamado método de Rice , relaciona el n º diferencia hacia adelante de una función a una integral de línea en el plano complejo . Suele aparecer en la teoría de diferencias finitas y también se ha aplicado en informática y teoría de grafos para estimar longitudes de árboles binarios . Recibe su nombre en honor a Niels Erik Nørlund y Stephen O. Rice . La contribución de Nørlund fue definir la integral; La contribución de Rice fue demostrar su utilidad aplicandotécnicas de silla de montar para su evaluación.
Definición
La n- ésima diferencia hacia adelante de una función f ( x ) está dada por
dónde es el coeficiente binomial .
La integral de Nörlund-Rice está dada por
donde f se entiende meromorfo , α es un número entero,, y se entiende que el contorno de integración circunda los polos ubicados en los enteros α, ..., n , pero no encierra ni los enteros 0, ...,ni ninguno de los polos de f . La integral también se puede escribir como
donde B ( a , b ) es la función beta de Euler . Si la funciónestá acotado polinomialmente en el lado derecho del plano complejo, entonces el contorno puede extenderse hasta el infinito en el lado derecho, lo que permite que la transformada se escriba como
donde la constante c está a la izquierda de α.
Ciclo de Poisson-Mellin-Newton
El ciclo de Poisson-Mellin-Newton, observado por Flajolet et al. en 1985, es la observación de que la semejanza de la integral de Nørlund-Rice con la transformada de Mellin no es accidental, sino que se relaciona mediante la transformada binomial y la serie de Newton . En este ciclo, dejasea una secuencia , y sea g ( t ) la función generadora de Poisson correspondiente , es decir, sea
Tomando su transformación de Mellin
luego se puede recuperar la secuencia original mediante la integral de Nörlund-Rice:
donde Γ es la función gamma .
Riesz significa
Una integral estrechamente relacionada ocurre con frecuencia en la discusión de las medias de Riesz . A grandes rasgos, se puede decir que está relacionada con la integral de Nörlund-Rice de la misma manera que la fórmula de Perron está relacionada con la transformada de Mellin: en lugar de tratar con series infinitas, se trata de series finitas.
Utilidad
La representación integral para estos tipos de series es interesante porque la integral a menudo se puede evaluar usando técnicas de expansión asintótica o de punto silla ; por el contrario, la serie de diferencias progresivas puede ser extremadamente difícil de evaluar numéricamente, porque los coeficientes binomiales crecen rápidamente para n grandes .
Ver también
Referencias
- Niels Erik Nørlund, Vorlesungen uber Differenzenrechnung , (1954) Chelsea Publishing Company, Nueva York.
- Donald E. Knuth, El arte de la programación informática , (1973), vol. 3 Addison-Wesley.
- Philippe Flajolet y Robert Sedgewick, " Transformaciones de Mellin y asintóticas: diferencias finitas e integrales de Rice ", Theoretical Computer Science 144 (1995) pp 101-124.
- Peter Kirschenhofer, " [1] ", The Electronic Journal of Combinatorics , Volumen 3 (1996) Edición 2 Artículo 7.