Tabla de series newtonianas

En matemáticas , una serie newtoniana , que lleva el nombre de Isaac Newton , es una suma sobre una secuencia escrita en la forma${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}$

dónde

${\displaystyle {s \choose n}}$

es el coeficiente binomial y es el factorial descendente . Las series newtonianas aparecen a menudo en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral .${\displaystyle (s)_{n}}$

Lista

El teorema del binomio generalizado da

${\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .}$

Se puede obtener una prueba de esta identidad mostrando que satisface la ecuación diferencial

${\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}$

La función digamma :

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.}$

Los números de Stirling del segundo tipo están dados por la suma finita

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}$

Esta fórmula es un caso especial de la k- ésima diferencia directa del monomio x ⁿ evaluado en  x  = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Una identidad relacionada forma la base de la integral de Nörlund-Rice :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{n-k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n),s\notin \{0,\ldots ,n\}}$

donde es la función Gamma y es la función Beta .${\displaystyle \Gamma (x)}$${\displaystyle B(x,y)}$

Las funciones trigonométricas tienen identidades umbral :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}$

La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente . Los primeros términos de la serie pecado son${\displaystyle (s)_{n}}$

${\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }$

que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para sen  x , con ( s ) _n en el lugar de  x ⁿ .

En la teoría analítica de números es de interés sumar

${\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}$

donde B son los números de Bernoulli . Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como

${\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}$

La relación general da la serie de Newton

${\displaystyle \sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),}$^{[ cita requerida ]}

donde está la función zeta de Hurwitz y el polinomio de Bernoulli . La serie no converge, la identidad se mantiene formalmente.${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle B_{k}(x)}$

Otra identidad es la que converge . Esto se sigue de la forma general de una serie de Newton para nodos equidistantes (cuando existe, es decir, es convergente)${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}$${\displaystyle x>a}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}$

Ver también

• Transformada binomial
• Lista de temas factoriales y binomiales
• Integral de Nörlund – Rice
• Teorema de carlson

Referencias

• Philippe Flajolet y Robert Sedgewick, " Transformaciones de Mellin y asintóticas: diferencias finitas e integrales de Rice ^{[ enlace muerto permanente ]} ", Theoretical Computer Science 144 (1995) pp 101-124.