En la teoría de control , la matriz de transición de estado es una matriz cuyo producto con el vector de estado en un momento inicial da en otro momento . La matriz de transición de estado se puede utilizar para obtener la solución general de sistemas dinámicos lineales.
Soluciones de sistemas lineales
La matriz de transición de estado se utiliza para encontrar la solución a una representación general en el espacio de estados de un sistema lineal en la siguiente forma
- ,
dónde son los estados del sistema, es la señal de entrada, y son funciones matriciales , y es la condición inicial en . Usando la matriz de transición de estado, la solución viene dada por: [1] [2]
El primer término se conoce como respuesta de entrada cero y representa cómo evolucionaría el estado del sistema en ausencia de cualquier entrada. El segundo término se conoce como respuesta de estado cero y define cómo las entradas impactan en el sistema.
Serie Peano – Baker
La matriz de transición más general viene dada por la serie de Peano – Baker
dónde es la matriz de identidad . Esta matriz converge de manera uniforme y absoluta a una solución que existe y es única. [2]
Otras propiedades
La matriz de transición de estado satisface las siguientes relaciones:
1. Es continuo y tiene derivadas continuas.
2, nunca es singular; De hecho y , dónde es la matriz de identidad.
3. para todos . [3]
4. para todos .
5. Satisface la ecuación diferencial con condiciones iniciales .
6. La matriz de transición de estados , dada por
donde el matriz es la matriz de solución fundamental que satisface
- con condición inicial .
7. Dado el estado en cualquier momento , el estado en cualquier otro momento viene dado por el mapeo
Estimación de la matriz de transición de estados
En el caso invariante en el tiempo , podemos definir, usando la matriz exponencial , como. [4]
En el caso de la variante temporal , la matriz de transición de estado se puede estimar a partir de las soluciones de la ecuación diferencial con condiciones iniciales dada por , , ..., . Las soluciones correspondientes proporcionan la columnas de matriz . Ahora, de la propiedad 4, para todos . La matriz de transición de estado debe determinarse antes de que pueda continuar el análisis de la solución variable en el tiempo.
Ver también
Referencias
- ^ Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike (2011). "La serie Peano Baker". Actas del Instituto de Matemáticas Steklov . 275 : 155-159. doi : 10.1134 / S0081543811080098 . S2CID 119133539 .
- ^ a b Rugh, Wilson (1996). Teoría de sistemas lineales . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-441205-2.
- ^ Brockett, Roger W. (1970). Sistemas lineales de dimensión finita . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-10585-5.
- ^ Reyneke, Pieter V. (2012). "Filtrado polinomial: en cualquier grado en datos muestreados irregularmente" . Automatika . 53 (4): 382–397. doi : 10.7305 / automatika.53-4.248 . S2CID 40282943 .
Otras lecturas
- Baake, M .; Schlaegel, U. (2011). "La serie Peano Baker". Actas del Instituto de Matemáticas Steklov . 275 : 155-159. doi : 10.1134 / S0081543811080098 . S2CID 119133539 .
- Brogan, WL (1991). Teoría del control moderno . Prentice Hall. ISBN 0-13-589763-7.