En matemáticas , más específicamente en topología , un mapa abierto es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. [1] [2] [3] Es decir, una función está abierto si para cualquier conjunto abierto en la imagen está abierto en Asimismo, un mapa cerrado es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. [3] [4] Un mapa puede estar abierto, cerrado, ambos o ninguno; [5] en particular, no es necesario cerrar un mapa abierto y viceversa. [6]
Los mapas abiertos [7] y cerrados [8] no son necesariamente continuos . [4] Además, la continuidad es independiente de la apertura y el cierre en el caso general y una función continua puede tener una, ambas o ninguna propiedad; [3] este hecho sigue siendo cierto incluso si uno se limita a los espacios métricos. [9] Aunque sus definiciones parecen más naturales, los mapas abiertos y cerrados son mucho menos importantes que los mapas continuos. Recuerde que, por definición, una funciónes continua si la preimagen de cada conjunto abierto de está abierto en [2] (De manera equivalente, si la preimagen de cada conjunto cerrado de está cerrado en ).
Simion Stoilow y Gordon Thomas Whyburn fueron los primeros en estudiar mapas abiertos . [10]
Definición y caracterizaciones
Si es un subconjunto de un espacio topológico, entonces dejemos y (resp. ) denotan el cierre (resp. interior ) deen ese espacio. Dejarser una función entre espacios topológicos . Si es cualquier conjunto entonces se llama la imagen de debajo
Mapas abiertos
Hay dos definiciones diferentes de " mapa abierto " en competencia, pero estrechamente relacionadas, que se utilizan ampliamente, donde ambas definiciones se pueden resumir como: "es un mapa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos". La siguiente terminología se utiliza a veces para distinguir entre las dos definiciones.
Un mapa se llama un
- " Mapa totalmente abierto " si siemprees un subconjunto abierto del dominio luego es un subconjunto abierto de 's codominio
- " Mapa relativamente abierto " si siempre es un subconjunto abierto del dominio luego es un subconjunto abierto de 's de imagen donde, como de costumbre, este conjunto está dotado de la topología subespacial inducida en él porcodominio de [11]
Por definición, el mapa es un mapa relativamente abierto si y solo si la sobreyección es un mapa fuertemente abierto. Un mapa sobreyectivo está fuertemente abierto si y solo si es relativamente abierto. Entonces, para este importante caso especial, las definiciones son equivalentes.
- Advertencia : muchos autores definen "mapa abierto" como " mapa relativamente abierto" (por ejemplo, La Enciclopedia de Matemáticas), mientras que otros definen "mapa abierto" como " mapa fuertemente abierto". En general, estas definiciones no son equivalentes, por lo que es aconsejable comprobar siempre qué definición de "mapa abierto" está utilizando un autor.
Todo mapa fuertemente abierto es un mapa relativamente abierto y, además, porque es siempre un subconjunto abierto de la imagen de un mapa fuertemente abierto es necesariamente un subconjunto abierto del codominio Sin embargo, un mapa relativamente abierto es un mapa fuertemente abierto si y solo si su imagen es un subconjunto abierto de su codominio Debido a esta caracterización simple, a menudo es sencillo aplicar resultados que involucran una de estas dos definiciones de "mapa abierto" a una situación que involucra la otra definición.
Un mapa se denomina mapa abierto o mapa fuertemente abierto si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: mapea subconjuntos abiertos de su dominio a subconjuntos abiertos de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto abierto de , es un subconjunto abierto de
- es un mapa relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio .
- Para cada y cada barrio de (por pequeño que sea), existe un barrio de tal que .
- Cualquiera de las instancias de la palabra "vecindario" en esta declaración se puede reemplazar con "vecindario abierto" y la declaración resultante aún caracterizaría mapas fuertemente abiertos.
- para todos los subconjuntos de dónde denota el interior topológico del conjunto.
- Cuando sea es un subconjunto cerrado de entonces el set es un subconjunto cerrado de [12]
y si es una base para entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:
- mapea conjuntos abiertos básicos a conjuntos abiertos en su codominio (es decir, para cualquier conjunto abierto básico es un subconjunto abierto de ).
Mapas cerrados
Un mapa se llama un mapa relativamente cerrado si siemprees un subconjunto cerrado del dominio luego es un subconjunto cerrado de 's de imagen donde, como de costumbre, este conjunto está dotado de la topología subespacial inducida en él por's codominio
Un mapa se denomina mapa cerrado o mapa fuertemente cerrado si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Definición: mapea subconjuntos cerrados de su dominio a subconjuntos cerrados de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto cerrado de es un subconjunto cerrado de
- es un mapa relativamente cerrado y su imagen es un subconjunto cerrado de su codominio
- para cada subconjunto
Un mapa sobreyectivo está fuertemente cerrado si y solo si es relativamente cerrado. Entonces, para este importante caso especial, las dos definiciones son equivalentes. Por definición, el mapaes un mapa relativamente cerrado si y solo si la sobreyección es un mapa fuertemente cerrado.
Ejemplos de
La función definido por es continuo, cerrado y relativamente abierto, pero no (fuertemente) abierto. Esto es porque si es cualquier intervalo abierto en dominio de que no contiene luego donde este intervalo abierto es un subconjunto abierto de ambos y Sin embargo, si es cualquier intervalo abierto en eso contiene luego que no es un subconjunto abierto de codominio de pero es un subconjunto abierto de Porque el conjunto de todos los intervalos abiertos en es una base para la topología euclidiana en esto muestra que es relativamente abierto pero no (fuertemente) abierto.
Si tiene la topología discreta (es decir, todos los subconjuntos están abiertos y cerrados), luego cada funciónes tanto abierto como cerrado (pero no necesariamente continuo). Por ejemplo, la función de suelo de R {\ Displaystyle \ mathbb {R}} a Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} está abierto y cerrado, pero no continuo. Este ejemplo muestra que no es necesario conectar la imagen de un espacio conectado debajo de un mapa abierto o cerrado.
Siempre que tengamos un producto de espacios topológicos las proyecciones naturales están abiertos [13] [14] (así como continuos). Dado que las proyecciones de los haces de fibras y los mapas de cobertura son proyecciones locales naturales de productos, también son mapas abiertos. Sin embargo, no es necesario cerrar las proyecciones. Considere, por ejemplo, la proyecciónen el primer componente; entonces el set está cerrado en pero no está cerrado en Sin embargo, para un espacio compacto la proyección está cerrado. Este es esencialmente el lema del tubo .
A cada punto del círculo unitario podemos asociar el ángulo del positivo-Eje con el rayo que conecta el punto con el origen. Esta función desde el círculo unitario hasta el intervalo semiabierto [0,2π) es biyectiva, abierta y cerrada, pero no continua. Muestra que la imagen de un espacio compacto debajo de un mapa abierto o cerrado no necesita ser compacta. También tenga en cuenta que si consideramos esto como una función del círculo unitario a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es fundamental.
Condiciones suficientes
Todo homeomorfismo es abierto, cerrado y continuo. De hecho, un mapa continuo biyectivo es un homeomorfismo si y solo si está abierto, o de manera equivalente, si y solo si está cerrado.
La composición de dos mapas abiertos (respectivamente mapas cerrados) y es de nuevo un mapa abierto (resp. un mapa cerrado) [15] [16] Sin embargo, no es un subconjunto abierto (resp. cerrado) de entonces esto ya no está garantizado.
La suma categórica de dos mapas abiertos está abierta o la de dos mapas cerrados está cerrada. [16] El producto categórico de dos mapas abiertos es abierto, sin embargo, no es necesario cerrar el producto categórico de dos mapas cerrados. [15] [16]
Un mapa biyectivo está abierto si y solo si está cerrado. El inverso de un mapa continuo biyectivo es un mapa biyectivo abierto / cerrado (y viceversa). Un mapa abierto sobreyectivo no es necesariamente un mapa cerrado, y del mismo modo, un mapa cerrado sobreyectivo no es necesariamente un mapa abierto.
Lema del mapa cerrado : cada función continuadesde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es cerrado y adecuado (es decir, las preimágenes de conjuntos compactos son compactas).
Una variante del lema del mapa cerrado establece que si una función continua entre espacios de Hausdorff localmente compactos es adecuada, también está cerrada.
En el análisis complejo , el teorema de mapeo abierto de nombre idéntico establece que cada función holomórfica no constante definida en un subconjunto abierto conectado del plano complejo es un mapa abierto.
El teorema de la invariancia del dominio establece que una función continua y localmente inyectiva entre dos-Las variedades topológicas dimensionales deben estar abiertas.
Invarianza de dominio - Sies un subconjunto abierto de y es un mapa continuo inyectivo , entonces está abierto en y es un homeomorfismo entre y
En el análisis funcional , el teorema de mapeo abierto establece que cada operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es un mapa abierto. Este teorema se ha generalizado a los espacios vectoriales topológicos más allá de los espacios de Banach.
Un mapa sobreyectivo se llama un mapa casi abierto si para cada existe algo tal que es un punto de apertura para que por definición significa que para cada vecindario abierto de es un barrio de en (nota que el barrio no se requiere que sea un vecindario abierto ). Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyecciones un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que no depende de ninguna manera detopología de ):
- cuando sea pertenecen a la misma fibra de (es decir ) luego para cada vecindario de existe un barrio de tal que
Si el mapa es continuo, la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua, entonces es un mapa abierto si y solo si está casi abierto y satisface la condición anterior.
Propiedades
Dejar ser un mapa. Dado cualquier subconjunto Si es un mapa relativamente abierto (resp. relativamente cerrado, fuertemente abierto, fuertemente cerrado, continuo, sobreyectivo ) entonces lo mismo es cierto de su restricción
hacia F {\ Displaystyle f} saturado subconjunto
Si es un mapa continuo que también está abierto o cerrado, entonces:
- Si es una sobreyección, entonces es un mapa de cociente e incluso un mapa de cociente hereditario ,
- Un mapa sobreyectivo se llama cociente hereditariamente si para cada subconjunto la restricción es un mapa de cocientes.
- Si es una inyección, entonces es una incrustación topológica , y
- Si es una biyección, entonces es un homeomorfismo .
En los dos primeros casos, estar abierto o cerrado es simplemente una condición suficiente para que el resultado siga. En el tercer caso, también es necesario .
Si es un mapa continuo (fuertemente) abierto, y luego:
- dónde denota el límite de un conjunto.
- dónde denotar el cierre de un conjunto.
- Si dónde denota el interior de un conjunto, entonces
- Si el mapa abierto continuo también es sobreyectiva entonces y además, es un subconjunto abierto regular (resp. un cerrado regular) [nota 1] de si y solo si es un subconjunto regular abierto (resp. regular cerrado) de
Suponer es una función y es un mapa sobreyectivo. Puede que no exista ningún mapa tal que en Esto motiva definir el conjunto que denota el conjunto de todos tal que la restricción de a la fibra es un mapa constante (o equivalentemente, tal quees un conjunto singleton ). Para cualquiera dejar denotar el valor constante que toma la fibra Esto induce un mapa que es el mapa único que satisface para cada
La importancia de este mapa es eso aferra donde por su propia definición, el conjunto es el subconjunto más grande (único) de en el que tal mapa puede definirse. Sies una proyección abierta continua desde un primer espacio contable en un espacio de Hausdorff y si es un mapa continuo valorado en un espacio de Hausdorff luego es un subconjunto cerrado de [nota 2] la sobreyección es continuo y abierto, y (como consecuencia de aguantando ) el mapa es continuo.
Ver también
- Mapa casi abierto : un mapa que cumple una condición similar a la de ser un mapa abierto.
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Operador lineal cerrado
- Homeomorfismo local : un mapa abierto continuo que, alrededor de cada punto de su dominio, tiene un vecindario en el que se restringe a un homomorfismo.
- Mapa cuasi abierto : una función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio.
- Mapa de cociente
- Mapa perfecto : un mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos.
- Mapa adecuado : un mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta.
- Mapa de cobertura de secuencia
Notas
- ^ a b Un subconjuntose llama un conjunto cerrado regular si o de manera equivalente, si dónde (resp. ) denota el límite topológico (resp. interior , cierre ) de en El conjunto se llama un conjunto abierto regular si o de manera equivalente, si El interior (tomado en ) de un subconjunto cerrado de es siempre un subconjunto abierto regular de El cierre (tomado en ) de un subconjunto abierto de es siempre un subconjunto cerrado regular de
- ^ La conclusión menos trivial quees siempre un subconjunto cerrado de se alcanzó a pesar de que la definición de es puramente teórico de conjuntos y no depende de ninguna manera de ninguna topología (aunque el requisito de que Ser límites continuos cuyas funciones de la forma se consideran, no influye en la definición de ). Además, este resultado muestra que para cada espacio de Hausdorffy cada mapa continuo (donde este espacio y mapa son elegidos sin tener en cuenta y ) el conjunto sin embargo, está necesariamente cerrado en
Citas
- ^ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- ^ a b Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 89. ISBN 0-486-66352-3.
Es importante recordar que el teorema 5.3 dice que una funciónes continuo si y solo si la imagen inversa de cada conjunto abierto está abierta. Esta caracterización de continuidad no debe confundirse con otra propiedad que una función puede poseer o no, la propiedad de que la imagen de cada conjunto abierto es un conjunto abierto (tales funciones se denominan mapeos abiertos ).
- ^ a b c Lee, John M. (2003). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 218 . Springer Science & Business Media. pag. 550. ISBN 9780387954486.
Un mapa(continuo o no) se dice que es un mapa abierto si para cada subconjunto cerrado está abierto en y un mapa cerrado si para cada subconjunto cerrado está cerrado en Los mapas continuos pueden ser abiertos, cerrados, ambos o ninguno, como se puede ver al examinar ejemplos simples que involucran subconjuntos del plano.
- ^ a b Ludu, Andrei. Ondas no lineales y solitones en contornos y superficies cerradas . Serie Springer en Sinergética. pag. 15. ISBN 9783642228940.
Un mapa abierto es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Asimismo, un mapa cerrado es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Los mapas abiertos o cerrados no son necesariamente continuos.
- ^ Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis real básico . Springer Science & Business Media. pag. 203. ISBN 9780817642112.
Ahora estamos listos para nuestros ejemplos que muestran que una función puede estar abierta sin estar cerrada o cerrada sin estar abierta. Además, una función puede estar abierta y cerrada simultáneamente o ni abierta ni cerrada.
(La declaración citada se da en el contexto de los espacios métricos, pero a medida que los espacios topológicos surgen como generalizaciones de los espacios métricos, la declaración también se mantiene allí). - ^ Naber, Gregory L. (2012). Métodos topológicos en espacios euclidianos . Dover Books on Mathematics (reimpresión ed.). Corporación de mensajería. pag. 18. ISBN 9780486153445.
Ejercicio 1-19. Muestre que el mapa de proyecciónπ 1 : X 1 × ··· × X k → X i es un mapa abierto, pero no es necesario que sea un mapa cerrado. Sugerencia: la proyección de R 2 sobreno está cerrado. De manera similar, no es necesario que un mapa cerrado esté abierto ya que cualquier mapa constante está cerrado. Sin embargo, para los mapas uno a uno y sobre, los conceptos de "abierto" y "cerrado" son equivalentes.
- ^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 89. ISBN 0-486-66352-3.
Hay muchas situaciones en las que una función tiene la propiedad de que para cada subconjunto abierto de el conjunto es un subconjunto abierto de y todavía no es continuo.
- ^ Boos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos en sumabilidad . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 332. ISBN 0-19-850165-X.
Ahora, surge la pregunta de si la última afirmación es verdadera en general, es decir, si los mapas cerrados son continuos. Eso falla en general, como lo demuestra el siguiente ejemplo.
- ^ Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría del operador . Springer Science & Business Media. pag. 115 . ISBN 9780817649982.
En general, un mapa de un espacio métrico en un espacio métrico puede poseer cualquier combinación de los atributos 'continuo', 'abierto' y 'cerrado' (es decir, estos son conceptos independientes).
- ^ Hart, KP; Nagata, J .; Vaughan, JE, eds. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. pag. 86 . ISBN 0-444-50355-2.
Parece que el estudio de mapas abiertos (interiores) comenzó con los artículos [13,14] de S. Stoïlow . Claramente, GT Whyburn [19,20] estudió en profundidad la apertura de los mapas por primera vez .
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
- ^ Publicación de intercambio de pila
- ^ Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. ISBN 0486131785.
- ^ Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas. 218 (Segunda ed.). pag. 606. doi : 10.1007 / 978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5.
Ejercicio A.32. Suponerson espacios topológicos. Demuestre que cada proyección es un mapa abierto.
- ^ a b Baues, Hans-Joachim; Quintero, Antonio (2001). Teoría de la homotopía infinita . K- Monografías en Matemáticas. 6 . pag. 53. ISBN 9780792369820.
Una combinación de mapas abiertos está abierta y una combinación de mapas cerrados está cerrada. Además, un producto de mapas abiertos está abierto. Por el contrario, un producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado, ...
- ^ a b c James, MI (1984). Topología general y teoría de la homotopía . Springer-Verlag. pag. 49 . ISBN 9781461382836.
... recordemos que la composición de mapas abiertos es abierta y la composición de mapas cerrados es cerrada. Además, la suma de mapas abiertos está abierta y la suma de mapas cerrados está cerrada. Sin embargo, el producto de mapas cerrados no es necesariamente cerrado, aunque el producto de mapas abiertos es abierto.
Referencias
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .