Axiomas de Wightman

axiomatización de la teoría cuántica de campos

Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . Por favor, ayuda a mejorar este artículo mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado. Encuentre fuentes:  "Axiomas de Wightman"  -  noticias  · periódicos  · libros  · académico  · JSTOR ( mayo de 2014 ) ( Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
Historia
Fondo Teoría de campo Electromagnetismo Fuerza débil Fuerza potente Mecánica cuántica Relatividad especial Relatividad general Teoría del calibre
Simetrías Simetría en mecánica cuántica Simetría C Simetría p Simetría en T Simetría de traslación espacial Simetría de traducción de tiempo Simetría de rotación Simetría de Lorentz Simetría de Poincaré Simetría de calibre Ruptura de simetría explícita Ruptura espontánea de la simetría Teoría de Yang-Mills Sin carga Carga topológica
Instrumentos Anomalía Cruce Teoría de campo efectiva Valor de expectativa Fantasmas de Faddeev-Popov Diagrama de Feynman Teoría del calibre de celosía Fórmula de reducción LSZ Función de partición Propagador Cuantización Regularización Renormalización Estado de vacío Teorema de Wick Axiomas de Wightman
Ecuaciones Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon Ecuaciones de proca Ecuación de Wheeler-DeWitt Ecuaciones de Bargmann-Wigner
Modelo estandar Electrodinámica cuántica Interacción electrodébil Cromodinámica cuántica Mecanismo de Higgs
Teorías incompletas Teoría de campos cuánticos topológicos Teoria de las cuerdas Supersimetría Tecnicolor Teoria de todo Gravedad cuántica
Científicos CD Anderson PW Anderson Ser el Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Bruto Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordán Kendall Croqueta Cordero Landó Sotavento Majorana Molinos Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman pabellón Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t mi

En física , los axiomas de Wightman (también llamados axiomas de Gårding-Wightman ), ^{[1] [2]} nombrados en honor a Lars Gårding y Arthur Wightman , ^[3] son un intento de una formulación matemáticamente rigurosa de la teoría cuántica de campos . Arthur Wightman formuló los axiomas a principios de la década de 1950, ^[4] pero se publicaron por primera vez en 1964 ^[5] después de que la teoría de la dispersión de Haag-Ruelle ^{[6] [7]} afirmara su importancia.

Los axiomas existen en el contexto de la teoría de campos cuánticos constructivos y están destinados a proporcionar una base para el tratamiento riguroso de los campos cuánticos y una base estricta para los métodos perturbativos utilizados. Uno de los problemas del milenio es darse cuenta de los axiomas de Wightman en el caso de los campos de Yang-Mills .

Razón fundamental

Una idea básica de los axiomas de Wightman es que existe un espacio de Hilbert sobre el cual el grupo de Poincaré actúa unitariamente . De esta forma, se implementan los conceptos de energía, momento, momento angular y centro de masa (correspondiente a impulsos).

También hay una suposición de estabilidad que restringe el espectro de los cuatro momentos al cono de luz positivo (y su límite). Sin embargo, esto no es suficiente para implementar la localidad . Para eso, los axiomas de Wightman tienen operadores dependientes de la posición llamados campos cuánticos que forman representaciones covariantes del grupo de Poincaré .

Dado que la teoría cuántica de campos adolece de problemas ultravioleta, el valor de un campo en un punto no está bien definido. Para evitar esto, los axiomas de Wightman introducen la idea de difuminar una función de prueba para controlar las divergencias de UV que surgen incluso en una teoría de campo libre . Dado que los axiomas se refieren a operadores ilimitados , es necesario especificar los dominios de los operadores.

Los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría imponiendo conmutatividad o anticomutatividad entre campos separados como espacios espaciales.

También postulan la existencia de un estado invariante de Poincaré llamado vacío y exigen que sea único. Además, los axiomas asumen que el vacío es "cíclico", es decir, que el conjunto de todos los vectores que se pueden obtener evaluando en el estado de vacío los elementos del álgebra polinomial generados por los operadores de campo difuso es un subconjunto denso de todo Hilbert. espacio.

Por último, existe la restricción de causalidad primitiva que establece que cualquier polinomio en los campos manchados puede aproximarse arbitrariamente con precisión (es decir, es el límite de operadores en la topología débil ) mediante polinomios en campos manchados sobre funciones de prueba con soporte en un conjunto abierto en Minkowski. espacio cuyo cierre causal es todo el espacio de Minkowski.

Axiomas

W0 (supuestos de la mecánica cuántica relativista)

La mecánica cuántica se describe según von Neumann ; en particular, los estados puros vienen dados por los rayos, es decir, los subespacios unidimensionales, de algún espacio de Hilbert complejo separable . A continuación, el producto escalar de los vectores espaciales de Hilbert Ψ y Φ se denotarán con , y la norma de Ψ se denotarán con . La probabilidad de transición entre dos estados puros [Ψ] y [Φ] se puede definir en términos de representantes vectoriales distintos de cero Ψ y Φ para ser${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle }$${\displaystyle \lVert \Psi \rVert }$

${\displaystyle P([\Psi ],[\Phi ])={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}$

y es independiente de qué vectores representativos, Ψ y Φ, se eligen.

La teoría de la simetría se describe según Wigner. Esto es para aprovechar la exitosa descripción de partículas relativistas de Eugene Paul Wigner en su famoso artículo de 1939. Véase la clasificación de Wigner . Wigner postuló que la probabilidad de transición entre estados es la misma para todos los observadores relacionados por una transformación de la relatividad especial . De manera más general, consideró que la afirmación de que una teoría es invariante bajo un grupo G se expresa en términos de la invariancia de la probabilidad de transición entre dos rayos cualesquiera. El enunciado postula que el grupo actúa sobre el conjunto de rayos, es decir, sobre el espacio proyectivo. Sea ( a , L ) un elemento de laGrupo de Poincaré (el grupo de Lorentz no homogéneo). Por lo tanto, a es un cuatro-vector de Lorentz real que representa el cambio de origen del espacio-tiempo x ↦ x - a donde x está en el espacio de Minkowski M ⁴ y L es una transformación de Lorentz , que se puede definir como una transformación lineal de cuatro- espacio-tiempo dimensional que conserva la distancia de Lorentz c²t² - x ⋅ x de cada vector ( ct , x). Entonces la teoría es invariante bajo el grupo de Poincaré si para cada rayo Ψ del espacio de Hilbert y cada elemento del grupo ( a , L ) se le da un rayo transformado Ψ ( a , L ) y la probabilidad de transición no cambia por la transformación:

${\displaystyle \left\langle \Psi (a,L),\Phi (a,L)\right\rangle =\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle }$

El teorema de Wigner dice que bajo estas condiciones, las transformaciones en el espacio de Hilbert son operadores lineales o antilineales (si además conservan la norma entonces son operadores unitarios o antiunitarios); el operador de simetría en el espacio proyectivo de rayos se puede elevar al espacio de Hilbert subyacente. Una vez hecho esto para cada elemento del grupo ( a , L ), obtenemos una familia de operadores unitarios o antiunitarios U ( a , L ) en nuestro espacio de Hilbert, de manera que el rayo Ψ transformado por ( a , L ) es el mismo que el rayo que contiene U ( a , L) ψ. Si restringimos la atención a elementos del grupo conectados a la identidad, entonces el caso anti-unitario no ocurre.

Sean ( a , L ) y ( b , M ) dos transformaciones de Poincaré, y denotemos su producto de grupo por ( a , L ). ( B , M ); de la interpretación física vemos que el rayo que contiene U ( a , L ) [ U ( b , M ) ψ] debe (para cualquier psi) ser el rayo que contiene U (( a , L ). ( b , M)) ψ (asociatividad de la operación de grupo). Volviendo de los rayos al espacio de Hilbert, estos dos vectores pueden diferir en una fase (y no en norma porque elegimos operadores unitarios), que puede depender de los dos elementos del grupo ( a , L ) y ( b , M ), es decir, no tenemos una representación de un grupo sino una representación proyectiva . Esta fase no siempre se puede cancelar redefiniendo cada U (a), por ejemplo, para partículas de espín ½. Wigner demostró que lo mejor que se puede conseguir para el grupo Poincaré es

${\displaystyle U(a,L)U(b,M)=\pm U((a,L).(b,M))}$

es decir, la fase es un múltiplo de . Para partículas de espín entero (piones, fotones, gravitones ...) se puede eliminar el signo +/− mediante cambios de fase adicionales, pero para representaciones de espín medio impar, no podemos, y el signo cambia de manera discontinua a medida que avanzamos. cualquier eje con un ángulo de 2π. Sin embargo, podemos construir una representación del grupo de cobertura del grupo de Poincaré , denominado SL no homogéneo (2, C ) ; esto tiene elementos ( a , A ) donde, como antes, a es un cuatro-vector, pero ahora A es una matriz compleja de 2 × 2 con determinante unitario. Denotamos los operadores unitarios que obtenemos por U ( a , A${\displaystyle \pi }$), y estos nos dan una representación continua, unitaria y fiel en cuanto a que el conjunto de U ( a , A ) obedece a la ley de grupo de los SL no homogéneos (2, C ).

Debido al cambio de signo en rotaciones de 2π, los operadores hermitianos que se transforman como espín 1/2, 3/2, etc., no pueden ser observables . Esto se muestra como la regla de superselección de univalencia : las fases entre los estados de espín 0, 1, 2, etc. y los de espín 1/2, 3/2, etc., no son observables. Esta regla se suma a la no observabilidad de la fase general de un vector de estado. Respecto a los observables y estados | v ), obtenemos una representación U ( a , L ) del grupo de Poincaré , en subespacios de espín entero, y U ( a , A ) del SL no homogéneo (2,C ) sobre subespacios de medio entero impar, que actúa según la siguiente interpretación:

Un conjunto correspondiente a U ( a , L ) | v ) debe interpretarse con respecto a las coordenadas exactamente de la misma manera que un conjunto correspondiente a | v ) se interpreta con respecto a las coordenadas x ; y de manera similar para los subespacios impares.${\displaystyle x^{\prime }=L^{-1}(x-a)}$

El grupo de traducciones espacio-temporales es conmutativo , por lo que los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. Los generadores de estos grupos nos dan cuatro operadores autoadjuntos , , j = 1, 2, 3, que se transforman bajo el grupo homogéneo como de cuatro vector, llamado el energía-impulso de cuatro vector.${\displaystyle P_{0},P_{j}}$

La segunda parte del axioma cero de Wightman es que la representación U ( a , A ) cumple la condición espectral: que el espectro simultáneo de energía-momento está contenido en el cono delantero:

${\displaystyle P_{0}\geq 0}$............... ${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{j}P_{j}\geq 0.}$

La tercera parte del axioma es que existe un estado único, representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es invariante bajo la acción del grupo de Poincaré. Se llama vacío.

W1 (supuestos sobre el dominio y la continuidad del campo)

Para cada función de prueba f , ^{[ aclaración necesaria ]} existe un conjunto de operadores que, junto con sus adjuntos, se definen en un subconjunto denso del espacio de estados de Hilbert, que contiene el vacío. Los campos A son distribuciones templadas valoradas por el operador . El espacio de estado de Hilbert está atravesado por los polinomios de campo que actúan sobre el vacío (condición de ciclicidad).${\displaystyle A_{1}(f),\ldots ,A_{n}(f)}$

W2 (ley de transformación del campo)

Los campos son covariantes bajo la acción del grupo de Poincaré , y se transforman según alguna representación S del grupo de Lorentz , o SL (2, C ) si el espín no es entero:

${\displaystyle U(a,L)^{\dagger }A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).}$

W3 (conmutatividad local o causalidad microscópica)

Si los soportes de dos campos están separados como un espacio , entonces los campos conmutan o anticonmutan.

La ciclicidad de un vacío y la singularidad de un vacío a veces se consideran por separado. Además, existe la propiedad de completitud asintótica: que el espacio de estados de Hilbert está atravesado por los espacios asintóticos y , que aparece en la matriz S de colisión . La otra propiedad importante de la teoría de campos es la brecha de masa que no es requerida por los axiomas: ese espectro de energía-momento tiene una brecha entre cero y algún número positivo.${\displaystyle H^{\text{in}}}$${\displaystyle H^{\text{out}}}$

Consecuencias de los axiomas

De estos axiomas, se siguen ciertos teoremas generales:

• Teorema de CPT : hay simetría general bajo cambio de paridad, inversión de partícula-antipartícula e inversión de tiempo (resulta que ninguna de estas simetrías existe por sí sola en la naturaleza)
• Conexión entre espín y estadística: campos que se transforman de acuerdo con el espín de medio entero anticonmutación, mientras que aquellos con espín entero conmutan (axioma W3) En realidad, hay detalles técnicos finos para este teorema. Esto se puede arreglar usando transformaciones de Klein . Ver paraestadísticas . Vea también los fantasmas en BRST .
• La imposibilidad de la comunicación superluminal : si dos observadores están separados en forma espacial, las acciones de un observador (incluidas las mediciones y los cambios en el hamiltoniano) no afectan las estadísticas de medición del otro observador. ^[8]

Arthur Wightman demostró que las distribuciones del valor esperado de vacío , que satisfacen cierto conjunto de propiedades que se derivan de los axiomas, son suficientes para reconstruir la teoría de campo: el teorema de reconstrucción de Wightman , incluida la existencia de un estado de vacío ; no encontró la condición en los valores esperados de vacío que garanticen la unicidad del vacío; esta condición, la propiedad del racimo , fue encontrada más tarde por Res Jost , Klaus Hepp , David Ruelle y Othmar Steinmann .

Si la teoría tiene una brecha de masa , es decir, no hay masas entre 0 y alguna constante mayor que cero, entonces las distribuciones de expectativas de vacío son asintóticamente independientes en regiones distantes.

El teorema de Haag dice que no puede haber una imagen de interacción, que no podemos usar el espacio de Fock de partículas que no interactúan como un espacio de Hilbert, en el sentido de que identificaríamos espacios de Hilbert a través de polinomios de campo que actúan sobre un vacío en un momento determinado.

Relación con otros marcos y conceptos en la teoría cuántica de campos.

El marco de Wightman no cubre estados de energía infinitos como estados de temperatura finitos.

A diferencia de la teoría de campos cuánticos locales , los axiomas de Wightman restringen la estructura causal de la teoría de forma explícita al imponer conmutatividad o anticomutatividad entre campos separados como espacios espaciales, en lugar de derivar la estructura causal como un teorema. Si se considera una generalización de los axiomas de Wightman a dimensiones diferentes a 4, este (anti) conmutatividad postulado descarta anyons y estadísticas de la trenza en dimensiones más bajas.

El postulado de Wightman de un estado de vacío único no necesariamente hace que los axiomas de Wightman sean inapropiados para el caso de ruptura espontánea de la simetría porque siempre podemos restringirnos a un sector de superselección .

La ciclicidad del vacío exigida por los axiomas de Wightman significa que describen sólo el sector de superselección del vacío; de nuevo, eso no es una gran pérdida de generalidad. Sin embargo, esta suposición deja fuera estados de energía finitos como los solitones que no pueden ser generados por un polinomio de campos manchados por funciones de prueba porque un solitón, al menos desde una perspectiva teórica de campo, es una estructura global que involucra condiciones de frontera topológicas en el infinito.

El marco de Wightman no cubre las teorías de campo efectivas porque no hay límite en cuanto a cuán pequeño puede ser el soporte de una función de prueba. Es decir, no hay una escala de corte .

El marco de Wightman tampoco cubre las teorías de calibre . Incluso en las teorías de calibre abelianas, los enfoques convencionales comienzan con un "espacio de Hilbert" con una norma indefinida (por lo tanto, no es realmente un espacio de Hilbert, que requiere una norma definida positiva, pero los físicos lo llaman un espacio de Hilbert de todos modos) y los estados físicos y los operadores pertenecen a una cohomología . Obviamente, esto no se cubre en ninguna parte del marco de Wightman. (Sin embargo, como lo muestran Schwinger, Christ y Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., la cuantificación canónica de las teorías de gauge en gauge de Coulomb es posible con un espacio de Hilbert ordinario, y esta podría ser la manera de hacerlas caer bajo el aplicabilidad de la sistemática axioma.)

Los axiomas de Wightman pueden reformularse en términos de un estado llamado funcional de Wightman en un álgebra de Borchers igual al álgebra tensorial de un espacio de funciones de prueba.

Existencia de teorías que satisfacen los axiomas

Se pueden generalizar los axiomas de Wightman a dimensiones distintas de 4. En la dimensión 2 y 3, se han construido teorías interactuantes (es decir, no libres) que satisfacen los axiomas.

Actualmente, no hay pruebas de que los axiomas de Wightman puedan satisfacerse para teorías interactivas en la dimensión 4. En particular, el modelo estándar de física de partículas no tiene fundamentos matemáticamente rigurosos. Hay un premio de un millón de dólares por una prueba de que los axiomas de Wightman pueden satisfacerse para las teorías de calibre , con el requisito adicional de una brecha de masa.

Teorema de reconstrucción de Osterwalder-Schrader

Bajo ciertos supuestos técnicos, se ha demostrado que un QFT euclidiano se puede rotar con Wick en un QFT Wightman. Véase el teorema de Osterwalder-Schrader . Este teorema es la herramienta clave para la construcción de teorías interactivas en las dimensiones 2 y 3 que satisfacen los axiomas de Wightman.

Ver también

• El sexto problema de Hilbert
• Teoría del campo cuántico local
• Axiomas de Haag-Kastler

Referencias

1. "Sexto problema de Hilbert" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 14 de julio de 2014 .
2. "Lars Gårding - Sydsvenskan" . Sydsvenskan.se . Consultado el 14 de julio de 2014 .
3. COMO Wightman, L. Gårding, "Campos como distribuciones valoradas por el operador en la teoría cuántica relativista", Arkiv f. Fysik, Kungl. Svenska Vetenskapsak. 28 , 129–189 (1964).
4. Axiomas de Wightman en nLab
5. RF Streater y AS Wightman , PCT, Spin and Statistics and All That , Princeton University Press, hitos en matemáticas y física, 2000 (1ª ed., Nueva York, Benjamin 1964).
6. R. Haag (1958), "Teorías de campo cuántico con partículas opuestas y condiciones asintóticas", Phys. Apocalipsis 112 .
7. D. Ruelle (1962), "Sobre la condición asintótica en la teoría cuántica de campos", Helv. Phys. Acta 35 .
8. Eberhard, Phillippe H .; Ross, Ronald R. (1989), "La teoría cuántica de campos no puede proporcionar una comunicación más rápida que la luz" , Foundations of Physics Letters , 2 (2): 127-149, Bibcode : 1989FoPhL ... 2..127E , doi : 10.1007 / bf00696109

Otras lecturas

• Arthur Wightman , "El sexto problema de Hilbert: tratamiento matemático de los axiomas de la física", en FE Browder (ed.): Vol. 28 (parte 1) del Proc. Symp. Matemática pura. , Amer. Matemáticas. Soc., 1976, págs. 241-268.
• Res Jost , La teoría general de campos cuantificados , Amer. Matemáticas. Soc., 1965.