Ecuación óptica

Soluciones enteras de la ecuación óptica 1 / a + 1 / b = 1 / c para 1 ≤ a, b ≤ 99 . El número en el círculo es c . En el archivo SVG, coloque el cursor sobre un círculo para ver su solución.

No confundir con la ecuación Octic .

En la teoría de números , la ecuación óptica es una ecuación que requiere la suma de los recíprocos de dos positivos enteros una y b sea igual a la recíproca de la tercera entero positivo c : ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{c}}.}$

Multiplicar ambos lados por abc muestra que la ecuación óptica es equivalente a una ecuación diofántica (una ecuación polinomial en múltiples variables enteras).

Solución

Todas las soluciones en números enteros a, b, c se dan en términos de parámetros enteros positivos m, n, k por ^[1]

${\displaystyle a=km(m+n),\quad b=kn(m+n),\quad c=kmn}$

donde m y n son primos entre sí .

Apariciones en geometría

La ecuación óptica con cuadrados aparece en el teorema de Pitágoras inverso (rojo)

La ecuación óptica, que permite pero no requiere soluciones enteras, aparece en varios contextos en geometría .

En un cuadrilátero bicéntrico , el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro y el circuncentro están relacionados por el teorema de Fuss de acuerdo con

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

y las distancias del incentro I a los vértices A, B, C, D están relacionadas con el inradio según

${\displaystyle {\frac {1}{IA^{2}}}+{\frac {1}{IC^{2}}}={\frac {1}{IB^{2}}}+{\frac {1}{ID^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.}$

Escaleras cruzadas. ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

En el problema escaleras cruzado , ^[2] dos escaleras arriostrados en las partes inferiores de las paredes verticales cruzar a la altura h y apoyarse en las paredes opuestas a alturas de A y B . Tenemos Por otra parte, la fórmula sigue manteniendo si las paredes están inclinadas y las tres mediciones se realizan en paralelo a las paredes.${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

Sea P un punto en la circunferencia de un triángulo equilátero ABC , en el arco menor AB . Vamos a ser la distancia de P a A y b ser la distancia de P a B . En una línea que pasa por P y el vértice lejano C , sea c la distancia desde P al lado del triángulo AB . Entonces ^{[3] : pág. 172} ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}={\tfrac {1}{c}}.}$

En un trapezoide , dibuje un segmento paralelo a los dos lados paralelos, pasando por la intersección de las diagonales y teniendo puntos finales en los lados no paralelos. Entonces, si denotamos las longitudes de los lados paralelos como un y b y la mitad de la longitud del segmento a través de la intersección diagonal como c , la suma de los inversos de una y b es igual a la recíproca de c . ^[4]

El caso especial en el que los enteros cuyos recíprocos se toman deben ser números cuadrados aparece de dos formas en el contexto de los triángulos rectángulos . Primero, la suma de los recíprocos de los cuadrados de las altitudes de los catetos (equivalentemente, de los cuadrados de los catetos mismos) es igual al recíproco del cuadrado de la altitud de la hipotenusa. Esto es válido tanto si los números son enteros como si no; hay una fórmula (ver aquí ) que genera todos los casos de números enteros. ^{[5] [6] En} segundo lugar, también en un triángulo rectángulo la suma del recíproco al cuadrado del lado de uno de los dos cuadrados inscritos y el recíproco al cuadrado de la hipotenusa es igual al recíproco al cuadrado del lado del otro cuadrado inscrito.

Los lados de un triángulo heptagonal , que comparte sus vértices con un heptágono regular , satisfacen la ecuación óptica.

Otras apariciones

Ecuación de lente delgada

Distancias en la ecuación de la lente delgada

Para una lente de grosor y distancia focal despreciables f , las distancias desde la lente a un objeto, S ₁ , y desde la lente a su imagen, S ₂ , están relacionadas por la fórmula de lente delgada :

${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$ .

Ingenieria Eléctrica

Comparación de resistencia efectiva, inductancia y capacitancia de dos resistencias, inductores y condensadores en serie y en paralelo

Los componentes de un circuito eléctrico o un circuito electrónico se pueden conectar en lo que se denomina configuración en serie o en paralelo . Por ejemplo, el valor de resistencia total R _t de dos resistencias con resistencias R ₁ y R ₂ conectadas en paralelo sigue la ecuación óptica:

${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}={\frac {1}{R_{t}}}}$ .

Del mismo modo, el total inductancia L _t de dos inductores con inductancias L ₁ y L ₂ conectados en paralelo está dada por:

${\displaystyle {\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}={\frac {1}{L_{t}}}}$

y la capacitancia total C _t de dos capacitores con capacitancias C ₁ y C ₂ conectadas en serie es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{C_{t}}}}$ .

Doblado del papel

Doblar una hoja de papel rectangular en tercios usando el problema de las escaleras cruzadas

La ecuación óptica del problema de las escaleras cruzadas se puede aplicar al doblar papel rectangular en tres partes iguales. Un lado (el de la izquierda ilustrado aquí) está parcialmente doblado por la mitad y pellizcado para dejar una marca. La intersección de una línea desde esta marca hasta una esquina opuesta, con una diagonal, es exactamente un tercio del borde inferior. El borde superior se puede plegar hacia abajo para encontrar la intersección. ^[7]

Significado armonico

La media armónica de una y b es o 2 c . En otras palabras, c es la mitad de la media armónica de una y b .${\displaystyle {\frac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}}$

Relación con el último teorema de Fermat

El último teorema de Fermat establece que la suma de dos enteros cada uno elevado a la misma potencia entera n no puede ser igual a otro entero elevado a la potencia n si n > 2. Esto implica que ninguna solución de la ecuación óptica tiene los tres enteros iguales a potencias perfectas con la misma potencia n > 2. Porque si entonces multiplicar por daría lo que es imposible según el último teorema de Fermat.${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}}+{\tfrac {1}{y^{n}}}={\tfrac {1}{z^{n}}},}$${\displaystyle (xyz)^{n}}$${\displaystyle (yz)^{n}+(xz)^{n}=(xy)^{n},}$

Ver también

• Conjetura de Erdős-Straus , una ecuación diofántica diferente que involucra sumas de recíprocos de números enteros
• Sumas de recíprocos

Referencias

1. Dickson, LE, Historia de la teoría de los números, Volumen II: Análisis diofantino , Chelsea Publ. Co., 1952, págs. 688–691.
2. Gardner, M. Circo matemático: más rompecabezas, juegos, paradojas y otros entretenimientos matemáticos de Scientific American . Nueva York: Knopf, 1979, págs. 62–64.
3. Posamentier, Alfred S. y Salkind, Charles T., Problemas desafiantes en geometría , Dover Publ., 1996.
4. GoGeometry , [1] , consultado el 8 de julio de 2012 .
5. Voles, Roger, "Soluciones enteras de a ^-2 + b ^-2 = d ^-2 ", Gaceta matemática 83, julio de 1999, 269-271.
6. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.
7. http://faculty.purchase.edu/jeanine.meyer/origami/orithir.htm