En matemáticas , un retrato orbital es una herramienta combinatoria utilizada en dinámicas complejas para comprender el comportamiento de mapas cuadráticos dimensionales unidimensionales .
En palabras simples se puede decir que es:
- una lista de ángulos externos para los cuales los rayos aterrizan en puntos de esa órbita
- gráfico que muestra la lista anterior
Definición
Dado un mapa cuadrático
del plano complejo a sí mismo
y una órbita periódica repelente o parabólica de , así que eso (donde se toman subíndices 1 + módulo ), dejar ser el conjunto de ángulos cuyos rayos externos correspondientes aterrizan en.
Entonces el set se llama retrato de la órbita de la órbita periódica .
Todos los sets debe tener el mismo número de elementos, lo que se llama la valencia del retrato.
Ejemplos de
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/24/Julia-p9.png/220px-Julia-p9.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/53/Parabolic_julia_set_c_%3D_-1.125_%2B_0.21650635094611%2Ai.png/220px-Parabolic_julia_set_c_%3D_-1.125_%2B_0.21650635094611%2Ai.png)
Retrato de órbita parabólico o repelente
valencia 2
valencia 3
La valencia es de 3, por lo que los rayos aterrizan en cada punto de la órbita.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Julia_set_with_3_external_rays.svg/220px-Julia_set_with_3_external_rays.svg.png)
Para polinomio cuadrático complejo con c = -0.03111 + 0.79111 * i retrato de la órbita del período parabólico 3 es: [1]
Los rayos de los ángulos superiores aterrizan en puntos de esa órbita. El parámetro c es un centro del componente hiperbólico del período 9 del conjunto de Mandelbrot.
Para el conjunto de julia parabólico c = -1,125 + 0,21650635094611 * i. Es un punto de raíz entre los componentes del período 2 y del período 6 del conjunto de Mandelbrot. El retrato de la órbita del período 2 con valencia 3 es: [2]
valencia 4
Retratos formales de órbita
Cada retrato de la órbita tiene las siguientes propiedades:
- Cada es un subconjunto finito de
- El mapa de duplicación en el círculo da una biyección de a y conserva el orden cíclico de los ángulos. [3]
- Todos los ángulos en todos los conjuntos. son periódicos bajo el mapa de duplicación del círculo, y todos los ángulos tienen el mismo período exacto. Este período debe ser un múltiplo de, entonces el período es de la forma , dónde se llama período de rayos recurrentes.
- Los conjuntos están desvinculados por pares, lo que quiere decir que dado cualquier par de ellos, hay dos intervalos disjuntos de donde cada intervalo contiene uno de los conjuntos.
Cualquier colección de subconjuntos del círculo que satisfacen estas cuatro propiedades anteriores se denomina retrato de órbita formal . Es un teorema de John Milnor que todo retrato orbital formal se realiza mediante el retrato orbital real de una órbita periódica de algún mapa cuadrático unidimensional complejo. Los retratos de órbita contienen información dinámica sobre cómo los rayos externos y sus puntos de aterrizaje se mapean en el plano, pero los retratos de órbita formales no son más que objetos combinatorios. El teorema de Milnor establece que, en verdad, no hay distinción entre los dos.
Retratos triviales de órbita
Retrato de la órbita donde todos los decorados tienen un solo elemento se llaman triviales, a excepción del retrato de la órbita . Una definición alternativa es que un retrato en órbita no es trivial si es máximo, lo que en este caso significa que no hay un retrato en órbita que lo contenga estrictamente (es decir, no existe un retrato en órbita tal que ). Es fácil ver que cada retrato trivial de órbita formal se realiza como el retrato de la órbita de alguna órbita del mapa., ya que cada rayo externo de este mapa aterriza, y todos aterrizan en distintos puntos del conjunto de Julia . Los retratos de órbitas triviales son patológicos en algunos aspectos, y en la secuela nos referiremos solo a los retratos de órbitas no triviales.
Arcos
En un retrato orbital , cada es un subconjunto finito del círculo , entonces cada divide el círculo en una serie de intervalos disjuntos, llamados arcos complementarios basados en el punto . La longitud de cada intervalo se denomina ancho angular. Cadatiene un arco más grande único basado en él, que se denomina arco crítico. El arco crítico siempre tiene una longitud mayor que
Estos arcos tienen la propiedad de que todo arco basado en , a excepción del arco crítico, se asigna difeomórficamente a un arco basado , y el arco crítico cubre cada arco basado en una vez, excepto por un solo arco, que cubre dos veces. El arco que cubre dos veces se llama arco de valor crítico para. Esto no es necesariamente distinto del arco crítico.
Cuándo escapa al infinito bajo iteración de , o cuando está en el set de Julia, entonces tiene un ángulo externo bien definido. Llame a este ángulo. está en cada arco de valor crítico. Además, las dos imágenes inversas de bajo el mapa de duplicación y ) están ambos en cada arco crítico.
Entre todos los arcos de valores críticos para todos los 's, hay un arco de valor crítico más pequeño único , llamado arco característico que está estrictamente contenido dentro de cualquier otro arco de valor crítico. El arco característico es una invariante completa de un retrato en órbita, en el sentido de que dos retratos en órbita son idénticos si y solo si tienen el mismo arco característico.
Sectores
Así como los rayos que aterrizan en la órbita dividen el círculo, dividen el plano complejo. Por cada puntode la órbita, los rayos externos que aterrizan en dividir el avión en conjuntos abiertos llamados sectores basados en . Los sectores se identifican naturalmente con los arcos complementarios basados en el mismo punto. El ancho angular de un sector se define como la longitud de su arco complementario correspondiente. Los sectores se denominan sectores críticos o sectores de valor crítico cuando los arcos correspondientes son, respectivamente, arcos críticos y arcos de valor crítico. [4]
Los sectores también tienen la interesante propiedad de que está en el sector crítico de cada punto, y , el valor crítico de, está en el sector de valor crítico.
Parámetro despierta
Dos rayos de parámetros con ángulos. y aterrizar en el mismo punto del conjunto de Mandelbrot en el espacio de parámetros si y solo si existe un retrato de la órbita con el intervalo como su arco característico. Para cualquier retrato orbital dejar ser el punto de aterrizaje común de los dos ángulos externos en el espacio de parámetros correspondiente al arco característico de . Estos dos rayos de parámetros, junto con su punto de aterrizaje común, dividen el espacio de parámetros en dos componentes abiertos. Deje que el componente que no contiene el punto ser llamado el -despierta y se denota como . Un polinomio cuadrático se da cuenta del retrato de la órbita con una órbita repelente exactamente cuando . se realiza con una órbita parabólica solo para el valor único por alrededor
Retratos de órbitas primitivas y satelitales
Aparte del retrato cero, hay dos tipos de retratos en órbita: primitivo y satélite. Si es la valencia de un retrato orbital y es el período de rayos recurrentes, estos dos tipos pueden caracterizarse de la siguiente manera:
- Los retratos de órbitas primitivas tienen y . Cada rayo en el retrato está mapeado a sí mismo por. Cadaes un par de ángulos, cada uno en una órbita distinta del mapa de duplicación. En este caso, es el punto base de un conjunto de Mandelbrot bebé en el espacio de parámetros.
- Los retratos de órbita satelital tienen . En este caso, todos los ángulos forman una sola órbita bajo el mapa de duplicación. Adicionalmente, es el punto base de una bifurcación parabólica en el espacio de parámetros.
Generalizaciones
Los retratos de órbitas resultan ser objetos combinatorios útiles para estudiar la conexión entre la dinámica y los espacios paramétricos de otras familias de mapas también. En particular, se han utilizado para estudiar los patrones de todos los rayos dinámicos periódicos que aterrizan en un ciclo periódico de un polinomio anti-holomórfico unicrítico. [5]
Ver también
Referencias
- ^ Flek, Ross; Keen, Linda (2010). "Límites de los componentes delimitados Fatou de mapas cuadráticos" (PDF) . Revista de ecuaciones y aplicaciones en diferencias . 16 (5–6): 555–572. doi : 10.1080 / 10236190903205080 .
- ^ Milnor, John W. (1999). "Órbitas periódicas, rayos externos y el conjunto de Mandelbrot: un relato expositivo". Preimpresión . arXiv : matemáticas / 9905169 . Código Bibliográfico : 1999math ...... 5169M .
- ^ Mapas caóticos 1D por Evgeny Demidov
- ^ Órbitas periódicas y rayos externos por Evgeny Demidov
- ^ Mukherjee, Sabyasachi (2015). "Retratos de la órbita de polinomios antiholomórficos unicríticos" . Geometría y dinámica conformales de la American Mathematical Society . 19 (3): 35–50. doi : 10.1090 / S1088-4173-2015-00276-3 .