Nido de abeja cúbico Order-6 | |
---|---|
![]() Vista de proyección en perspectiva dentro del modelo de disco de Poincaré | |
Tipo | Panal de abeja regular hiperbólico Panal uniforme de Paracompacto |
Símbolo de Schläfli | {4,3,6} {4,3 [3] } |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {4,3} ![]() |
Caras | cuadrado {4} |
Figura de borde | hexágono {6} |
Figura de vértice | ![]() ![]() baldosas triangulares |
Grupo Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] |
Doble | Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-4 |
Propiedades | Regular, cuasirregular |
El nido de abeja cúbico de orden 6 es un mosaico de relleno de espacio regular paracompacto (o panal ) en 3 espacios hiperbólicos . Es paracompacto porque tiene figuras de vértice compuestas por un número infinito de facetas, con todos los vértices como puntos ideales en el infinito. Con el símbolo de Schläfli {4,3,6}, el panal tiene seis cubos ideales que se encuentran a lo largo de cada borde. Su figura de vértice es un mosaico triangular infinito . Su doble es el panal de baldosas hexagonales de orden 4 .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Imagenes
![]() Una celda vista fuera del modelo de esfera de Poincaré | ![]() El nido de abeja cúbico de orden 6 es análogo al mosaico cuadrado hiperbólico 2D de orden infinito , {4, ∞} con caras cuadradas. Todos los vértices están en la superficie ideal. |
Simetría
Existe una construcción de semi-simetría del nido de abeja cúbico de orden 6 como {4,3 [3] }, con dos tipos (colores) alternados de celdas cúbicas. Esta construcción tiene diagrama de Coxeter-Dynkin ↔
.
Existe otra construcción de simetría más baja, [4,3 * , 6], del índice 6, con un dominio fundamental no simplex, con diagrama de Coxeter-Dynkin .
Este panal contiene que teja 2- superficies hipercíclicas , similar al mosaico paracompacto de orden 3 apeirogonal ,
:
Politopos y panales relacionados
El panal cúbico de orden 6 es un panal hiperbólico regular en 3 espacios, y uno de los 11 que son paracompactos.
11 panales regulares paracompactos | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() {6,3,3} | ![]() {6,3,4} | ![]() {6,3,5} | ![]() {6,3,6} | ![]() {4,4,3} | ![]() {4,4,4} | ||||||
![]() {3,3,6} | ![]() {4,3,6} | ![]() {5,3,6} | ![]() {3,6,3} | ![]() {3,4,4} |
Tiene un panal de alternancia relacionado , representado por ↔
. Esta forma alterna tiene baldosas hexagonales y celdas tetraédricas .
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo [6,3,4] Coxeter , incluido el panal cúbico de orden 6 en sí.
[6,3,4] panales familiares | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,4} | r {6,3,4} | t {6,3,4} | rr {6,3,4} | t 0,3 {6,3,4} | tr {6,3,4} | t 0,1,3 {6,3,4} | t 0,1,2,3 {6,3,4} | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
{4,3,6} | r {4,3,6} | t {4,3,6} | rr {4,3,6} | 2t {4,3,6} | tr {4,3,6} | t 0,1,3 {4,3,6} | t 0,1,2,3 {4,3,6} |
El nido de abeja cúbico de orden 6 es parte de una secuencia de policoras regulares y panales con celdas cúbicas .
{4,3, p} panales regulares | |||||||||||
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Espacio | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,3}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,4}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,5}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,7}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {4,3,8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... {4,3, ∞}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Figura de vértice![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
También es parte de una secuencia de panales con figuras de vértices de mosaicos triangulares .
Formulario | Paracompacto | No compacto | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | {3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {6,3,6} | {7,3,6} | {8,3,6} | ... {∞, 3,6} |
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Células | ![]() {3,3} | ![]() {4,3} | ![]() {5,3} | ![]() {6,3} | ![]() {7,3} | ![]() {8,3} | ![]() {∞, 3} |
Nido de abeja cúbico de orden 6 rectificado
Nido de abeja cúbico de orden 6 rectificado | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | r {4,3,6} o t 1 {4,3,6} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | r {3,4} ![]() {3,6} ![]() |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | ![]() Prisma hexagonal |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [6,3 1,1 ] , [4,3 [3] ] , [3 [] × [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal cúbico rectificado de orden 6 , r {4,3,6},tiene facetas de mosaico cuboctaédrico y triangular , con una figura de vértice prisma hexagonal .
Es similar al mosaico tetraapeirogonal hiperbólico 2D , r {4, ∞}, caras alternas apeirogonales y cuadradas:
Espacio | H 3 | ||||||
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Formulario | Paracompacto | No compacto | |||||
Nombre | r {3,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | r {4,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | r {5,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | r {6,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | r {7,3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ... r {∞, 3,6}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
Células![]() {3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() r {∞, 3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Nido de abeja cúbico truncado de orden 6
Nido de abeja cúbico truncado de orden 6 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t {4,3,6} o t 0,1 {4,3,6} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {4,3} ![]() {3,6} ![]() |
Caras | triángulo {3} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() pirámide hexagonal |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico truncado de orden 6 , t {4,3,6},Tiene facetas de mosaico triangular y cubo truncado , con una figura de vértice piramidal hexagonal .
Es similar al mosaico cuadrado de orden infinito truncado hiperbólico 2D , t {4, ∞}, con caras apeirogonales y octogonales (cuadradas truncadas):
Nido de abeja cúbico Bitruncado orden-6
El panal cúbico bitruncado de orden 6 es el mismo que el panal hexagonal bitruncado de orden 4 .
Nido de abeja cúbico cantelado orden-6
Nido de abeja cúbico cantelado orden-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | rr {4,3,6} o t 0,2 {4,3,6} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | rr {4,3} ![]() r {3,6} ![]() {} x {6} ![]() |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | ![]() cuña |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico cantelado de orden 6 , rr {4,3,6},tiene facetas de rombicuboctaedro , mosaico trihexagonal y prisma hexagonal , con una figura de vértice en cuña .
Nido de abeja cúbico Cantitruncado orden-6
Nido de abeja cúbico Cantitruncado orden-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | tr {4,3,6} o t 0,1,2 {4,3,6} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | tr {4,3} ![]() t {3,6} ![]() {} x {6} ![]() |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() esfenoides reflejados |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico cantitruncado de orden 6 , tr {4,3,6},tiene un cuboctaedro truncado , baldosas hexagonales y facetas de prisma hexagonal , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Nido de abeja cúbico runcinated order-6
El panal de abejas cúbico runcinated orden-6 es el mismo que el panal de mosaico hexagonal runcinated orden-4 .
Nido de abeja cúbico Runcitruncated order-6
Nido de abeja cúbico cantelado orden-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | t 0,1,3 {4,3,6} |
Diagramas de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {4,3} ![]() rr {3,6} ![]() {} x {6} ![]() {} x {8} ![]() |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} |
Figura de vértice | ![]() pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja cúbico runcitruncated order-6 , rr {4,3,6},Tiene facetas de cubo truncado , mosaico rombitrihexagonal , prisma hexagonal y prisma octagonal , con figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Nido de abeja cúbico runcicantellated order-6
El nido de abeja cúbico runcicantellated orden-6 es el mismo que el nido de abeja hexagonal runcitruncado orden-4 .
Panal cúbico orden-6 omnitruncado
El nido de abeja cúbico omnitruncado de orden 6 es el mismo que el nido de abeja hexagonal omnitruncado de orden 4 .
Nido de abeja cúbico de orden alternado 6
Nido de abeja cúbico de orden alternado 6 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto Nido de abeja semirregular |
Símbolo de Schläfli | h {4,3,6} |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {3,3} ![]() {3,6} ![]() |
Caras | triángulo {3} |
Figura de vértice | ![]() baldosas trihexagonales |
Grupo Coxeter | , [6,3 1,1 ] , [3 [] x [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo, cuasirregular |
En la geometría hiperbólica tridimensional, el panal de mosaico hexagonal de orden alternativo 6 es un mosaico compacto y uniforme que llena el espacio (o panal ). Como alternancia , con el símbolo de Schläfli h {4,3,6} y el diagrama de Coxeter-Dynkin o
, se puede considerar un panal cuasirregular , alternando mosaicos triangulares y tetraedros alrededor de cada vértice en una figura de vértice de mosaico trihexagonal .
Simetría
Existe una construcción de semisimetría de la forma {4,3 [3] }, con dos tipos (colores) alternos de celdas de mosaico triangulares. Este formulario tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin ↔
. Existe otra forma de menor simetría del índice 6, [4,3 * , 6], con un dominio fundamental no simplex, con diagrama de Coxeter-Dynkin
.
Panales relacionados
El nido de abeja cúbico de orden alternado 6 es parte de una serie de policoras y panales cuasirregulares .
Policora cuasirregular y panales: h {4, p, q} | |||||||||||
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Espacio | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | |||||||
Símbolo de Schläfli | h {4,3,3} | h {4,3,4} | h {4,3,5} | h {4,3,6} | h {4,4,3} | h {4,4,4} | |||||
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
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Imagen | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
Figura de vértice r {p, 3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
También tiene 3 formas relacionadas: el nido de abeja cúbico de orden cántico-6 , h 2 {4,3,6},; el panal cúbico de orden rúnico-6 , h 3 {4,3,6},
; y el nido de abeja cúbico de orden cúbico-6 , h 2,3 {4,3,6},
.
Nido de abeja cúbico Cantic order-6
Nido de abeja cúbico Cantic order-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 2 {4,3,6} |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {3,3} ![]() r {6,3} ![]() t {3,6} ![]() |
Caras | triángulo {3} hexágono {6} |
Figura de vértice | ![]() pirámide rectangular |
Grupo Coxeter | , [6,3 1,1 ] , [3 [] x [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal cúbico de orden cántico-6 es un mosaico (o panal ) compacto y uniforme que llena el espacio con el símbolo de Schläfli h 2 {4,3,6}. Está compuesto por facetas de tetraedro truncado , alicatado trihexagonal y alicatado hexagonal , con una figura de vértice piramidal rectangular .
Nido de abeja cúbico runcic order-6
Nido de abeja cúbico runcic order-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 3 {4,3,6} |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | {3,3} ![]() {6,3} ![]() rr {6,3} ![]() |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | ![]() cúpula triangular |
Grupo Coxeter | , [6,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja cúbico de orden rúncico 6 es un mosaico (o nido de abeja ) compacto y uniforme que llena el espacio con el símbolo de Schläfli h 3 {4,3,6}. Está compuesto por facetas tetraedro , alicatado hexagonal y alicatado rombitrihexagonal , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Nido de abeja cúbico runcicantic order-6
Nido de abeja cúbico runcicantic order-6 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | h 2,3 {4,3,6} |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Células | t {6,3} ![]() tr {6,3} ![]() t {3,3} ![]() |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} dodecágono {12} |
Figura de vértice | ![]() esfenoides reflejados |
Grupo Coxeter | , [6,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja cúbico runcicantic order-6 es un mosaico compacto y uniforme que llena el espacio (o nido de abeja ), con el símbolo de Schläfli h 2,3 {4,3,6}. Se compone de baldosas hexagonales truncadas , baldosas trihexagonales truncadas y facetas tetraédricas truncadas , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Panales uniformes paracompactos
Referencias
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- La belleza de la geometría: Doce ensayos (1999), Publicaciones de Dover, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico ) Tabla III
- Jeffrey R. Weeks La forma del espacio, 2a ediciónISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías en tres colectores I, II)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico