Nido de abeja de baldosas hexagonales Order-4 | |
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Vista de proyección en perspectiva dentro del modelo de disco de Poincaré | |
Tipo | Nido de abeja hiperbólico regular Nido de abeja uniforme de Paracompacto |
Símbolos de Schläfli | {6,3,4} {6,3 1,1 } t 0,1 {(3,6) 2 } |
Diagramas de Coxeter | ↔ ↔ ↔ |
Células | {6,3} |
Caras | hexágono {6} |
Figura de borde | cuadrado {4} |
Figura de vértice | octaedro |
Doble | Nido de abeja cúbico Order-6 |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [6,3 1,1 ] , [(6,3) [2] ] |
Propiedades | Regular, cuasirregular |
En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de mosaico hexagonal de orden 4 surge como uno de los 11 panales paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es un mosaico hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horósfera : un plano en el espacio hiperbólico que se acerca a un único punto ideal en el infinito.
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de mayor dimensión , de modo que no hay espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales convexos uniformes . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
El símbolo de Schläfli del panal de mosaico hexagonal de orden 4 es {6,3,4}. Dado que el del mosaico hexagonal es {6,3}, este panal tiene cuatro mosaicos hexagonales de este tipo que se unen en cada borde. Dado que el símbolo de Schläfli del octaedro es {3,4}, la figura del vértice de este panal es un octaedro. Así, ocho mosaicos hexagonales se encuentran en cada vértice de este panal, y los seis bordes que se encuentran en cada vértice se encuentran a lo largo de tres ejes ortogonales. [1]
Imagenes
Proyección en perspectiva | Una celda, vista desde fuera de la esfera de Poincaré |
Los vértices de a t {(3, ∞, 3)} ,el mosaico existe como un hiperciclo 2- dentro de este panal | El panal es análogo al mosaico apeirogonal H 2 orden-4 , {∞, 4}, que se muestra aquí con un apeirogon verde delineado por su horociclo |
Simetría
El panal de baldosas hexagonales de orden 4 tiene tres construcciones reflectantes de simetría simplex.
La construcción uniforme de semi-simetría {6,3 1,1 } tiene dos tipos (colores) de mosaicos hexagonales, con diagrama de Coxeter ↔ . También existe una construcción de cuarto de simetría, con cuatro colores de mosaicos hexagonales:.
Existen dos simetrías reflexivas adicionales con dominios fundamentales no simplecticos: [6,3 * , 4], que es el índice 6, con el diagrama de Coxeter ; y [6, (3,4) * ], que es el índice de 48. El último tiene una cúbico dominio fundamental, y un octaédrica Coxeter diagrama con tres ramas infinitas axiales: . Puede verse como el uso de ocho colores para colorear los mosaicos hexagonales del panal.
El panal de baldosas hexagonales order-4 contiene , que enlosan 2- superficies hipercíclicas y son similares al mosaico triangular truncado de orden infinito ,:
Politopos y panales relacionados
El panal de mosaico hexagonal de orden 4 es un panal hiperbólico regular en 3 espacios, y uno de los 11 que son paracompactos.
11 panales regulares paracompactos | |||||||||||
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{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
Hay quince panales uniformes en la familia del grupo [6,3,4] Coxeter , incluida esta forma regular y su doble , el panal cúbico de orden 6 .
[6,3,4] panales familiares | |||||||||||
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{6,3,4} | r {6,3,4} | t {6,3,4} | rr {6,3,4} | t 0,3 {6,3,4} | tr {6,3,4} | t 0,1,3 {6,3,4} | t 0,1,2,3 {6,3,4} | ||||
{4,3,6} | r {4,3,6} | t {4,3,6} | rr {4,3,6} | 2t {4,3,6} | tr {4,3,6} | t 0,1,3 {4,3,6} | t 0,1,2,3 {4,3,6} |
El panal de mosaico hexagonal de orden 4 tiene un panal alterno relacionado , ↔ , con alicatado triangular y celdas octaedro .
Es parte de la secuencia de panales regulares de la forma {6,3, p}, todos los cuales están compuestos por celdas de mosaico hexagonales :
{6,3, p} panales | |||||||||||
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Espacio | H 3 | ||||||||||
Formulario | Paracompacto | No compacto | |||||||||
Nombre | {6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {6,3,7} | {6,3,8} | ... {6,3, ∞} | ||||
Coxeter | |||||||||||
Imagen | |||||||||||
Figura de vértice {3, p} | {3,3} | {3,4} | {3,5} | {3,6} | {3,7} | {3,8} | {3, ∞} |
Este nido de abeja está también relacionada con la de 16 células , panal cúbico y orden-4 de nido de abeja de dodecaedro , todos los cuales tienen figura de vértice octaédricos.
{p, 3,4} panales regulares | |||||||||||
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Espacio | S 3 | E 3 | H 3 | ||||||||
Formulario | Finito | Afín | Compacto | Paracompacto | No compacto | ||||||
Nombre | {3,3,4} | {4,3,4} | {5,3,4} | {6,3,4} | {7,3,4} | {8,3,4} | ... {∞, 3,4} | ||||
Imagen | |||||||||||
Células | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Los panales antes mencionados también son cuasirregulares:
Panales regulares y cuasirregulares: {p, 3,4} y {p, 3 1,1 } | |||||||||||
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Espacio | 4 espacios euclidianos | 3 espacios euclidianos | 3 espacios hiperbólicos | ||||||||
Nombre | {3,3,4} {3,3 1,1 } = | {4,3,4} {4,3 1,1 } = | {5,3,4} {5,3 1,1 } = | {6,3,4} {6,3 1,1 } = | |||||||
Diagrama de Coxeter | = | = | = | = | |||||||
Imagen | |||||||||||
Celdas {p, 3} |
Nido de abeja hexagonal rectificado order-4
Nido de abeja hexagonal rectificado order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | r {6,3,4} o t 1 {6,3,4} |
Diagramas de Coxeter | ↔ ↔ ↔ |
Células | {3,4} r {6,3} |
Caras | triángulo {3} hexágono {6} |
Figura de vértice | prisma cuadrado |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] , [6,3 1,1 ] , [3 [] × [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal rectificado de orden 4 , t 1 {6,3,4},tiene facetas de mosaico octaédrico y trihexagonal , con una figura de vértice de prisma cuadrado .
Es similar al mosaico tetraapeirogonal hiperbólico 2D , r {∞, 4}, que alterna caras apeirogonales y cuadradas:
Nido de abeja hexagonal truncado orden-4
Nido de abeja hexagonal truncado orden-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t {6,3,4} o t 0,1 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {3,4} t {6,3} |
Caras | triángulo {3} dodecágono {12} |
Figura de vértice | pirámide cuadrada |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [6,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal truncado de orden 4 , t 0,1 {6,3,4},tiene facetas de mosaico octaedro y hexagonal truncado , con una figura de vértice piramidal cuadrada .
Es similar al mosaico apeirogonal de orden 4 truncado hiperbólico 2D , t {∞, 4}, con caras apeirogonales y cuadradas:
Nido de abeja hexagonal Bitruncated order-4
Nido de abeja hexagonal Bitruncated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | 2t {6,3,4} o t 1,2 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ ↔ ↔ |
Células | t {4,3} t {3,6} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | disphenoid digonal |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [4,3 [3] ] , [6,3 1,1 ] , [3 [] × [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal bitruncado de orden 4 , t 1,2 {6,3,4},tiene celdas de mosaico octaedro truncado y hexagonal , con una figura de vértice digonal difenoide .
Nido de abeja hexagonal cantellated order-4
Nido de abeja hexagonal cantellated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | rr {6,3,4} o t 0,2 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | r {3,4} {} x {4} rr {6,3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | cuña |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [6,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales de orden 4 cantelado , t 0,2 {6,3,4},tiene celdas de mosaico cuboctaedro , cubo y rombitrihexagonal , con una figura de vértice en cuña .
Nido de abeja hexagonal cantitruncated order-4
Nido de abeja hexagonal cantitruncated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | tr {6,3,4} o t 0,1,2 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | t {3,4} {} x {4} tr {6,3} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} dodecágono {12} |
Figura de vértice | esfenoides reflejados |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] , [6,3 1,1 ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales cantitruncado de orden 4 , t 0,1,2 {6,3,4},tiene un octaedro truncado , un cubo y celdas de mosaico truncadas truncadas , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
Nido de abeja hexagonal runcinated order-4
Nido de abeja hexagonal runcinated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,3 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {4,3} {} x {4} {6,3} {} x {6} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | antiprisma triangular irregular |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales runcinated order-4 , t 0,3 {6,3,4},tiene cubos , alicatados hexagonales y celdas prismáticas hexagonales , con una figura triangular irregular de vértice antiprisma .
Contiene el mosaico hiperbólico bidimensional rombitotrahexagonal , rr {4,6},con caras cuadradas y hexagonales. El mosaico también tiene una construcción de media simetría..
= |
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Nido de abeja hexagonal Runcitruncated order-4
Nido de abeja hexagonal Runcitruncated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,3 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | rr {3,4} {} x {4} {} x {12} t {6,3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} dodecágono {12} |
Figura de vértice | pirámide isósceles-trapezoidal |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja hexagonal runcitruncated order-4 , t 0,1,3 {6,3,4},tiene rombicuboctaedro , cubo , prisma dodecagonal y celdas de mosaico hexagonales truncadas , con una figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Nido de abeja hexagonal Runcicantellated order-4
El panal de mosaico hexagonal runcicantellated orden-4 es el mismo que el panal de abejas cúbico runcitruncado orden-6 .
Nido de abeja hexagonal omnitruncated order-4
Nido de abeja hexagonal omnitruncated order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | t 0,1,2,3 {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | |
Células | tr {4,3} tr {6,3} {} x {12} {} x {8} |
Caras | cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} dodecágono {12} |
Figura de vértice | tetraedro irregular |
Grupos de Coxeter | , [4,3,6] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal omnitruncado de orden 4 , t 0,1,2,3 {6,3,4},tiene cuboctaedro truncado , mosaico trihexagonal truncado , prisma dodecagonal y celdas de prisma octogonal , con una figura de vértice tetraedro irregular .
Nido de abeja hexagonal de orden alternativo 4
Nido de abeja hexagonal de orden alternativo 4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto Nido de abeja semirregular |
Símbolos de Schläfli | h {6,3,4} |
Diagramas de Coxeter | ↔ |
Células | {3 [3] } {3,4} |
Caras | triángulo {3} |
Figura de vértice | octaedro truncado |
Grupos de Coxeter | , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo, borde-transitivo, cuasirregular |
El panal de baldosas hexagonales de orden alternado 4 , ↔ , está compuesto por celdas triangulares de mosaico y octaedro , en una figura de vértice de octaedro truncado .
Nido de abeja hexagonal Cantic order-4
Nido de abeja hexagonal Cantic order-4 | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | h 2 {6,3,4} |
Diagramas de Coxeter | ↔ |
Células | h 2 {6,3} t {3,4} r {3,4} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} |
Figura de vértice | cuña |
Grupos de Coxeter | , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales cantic order-4 , ↔ , se compone de celdas trihexagonales , octaedro truncado y cuboctaedro , con una figura de vértice en cuña .
Nido de abeja de baldosas hexagonales runcic order-4
Nido de abeja de baldosas hexagonales runcic order-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | h 3 {6,3,4} |
Diagramas de Coxeter | ↔ |
Células | {3 [3] } rr {3,4} {4,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} |
Figura de vértice | cúpula triangular |
Grupos de Coxeter | , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El nido de abeja hexagonal rúncico orden-4 , ↔ , está compuesto por celdas de mosaico triangular , rombicuboctaedro , cubo y prisma triangular , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Runcicantic order-4 baldosas hexagonales en forma de panal
Runcicantic order-4 baldosas hexagonales en forma de panal | |
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Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolos de Schläfli | h 2,3 {6,3,4} |
Diagramas de Coxeter | ↔ |
Células | h 2 {6,3} tr {3,4} t {4,3} {} x {3} |
Caras | triángulo {3} cuadrado {4} hexágono {6} octágono {8} |
Figura de vértice | pirámide rectangular |
Grupos de Coxeter | , [4,3 [3] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de baldosas hexagonales runcicantic order-4 , ↔ , se compone de baldosas trihexagonales , cuboctaedro truncado , cubo truncado y celdas de prisma triangular , con una figura de vértice piramidal rectangular .
Nido de abeja hexagonal de cuarto de orden-4
Nido de abeja hexagonal de cuarto de orden-4 | |
---|---|
Tipo | Nido de abeja uniforme paracompacto |
Símbolo de Schläfli | q {6,3,4} |
Diagrama de Coxeter | ↔ |
Células | {3 [3] } {3,3} t {3,3} h 2 {6,3} |
Caras | triángulo {3} hexágono {6} |
Figura de vértice | cúpula triangular |
Grupos de Coxeter | , [3 [] x [] ] |
Propiedades | Vértice-transitivo |
El panal de mosaico hexagonal de cuarto orden-4 , q {6,3,4}, o , se compone de baldosas triangulares , baldosas trihexagonales , tetraedro y células tetraédricas truncadas , con una figura de vértice de cúpula triangular .
Ver también
- Panales uniformes convexos en el espacio hiperbólico
- Teselaciones regulares de 3 espacios hiperbólicos
- Panales uniformes paracompactos
Referencias
- ^ Coxeter La belleza de la geometría , 1999, Capítulo 10, Tabla III
- Coxeter , Politopos regulares , 3er. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos y panales regulares, págs. 294–296)
- The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico ) Tabla III
- Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2da edición ISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías en tres variedades I, II)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , manuscrito
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- NW Johnson: Geometrías y Transformaciones , (2018) Capítulo 13: Grupos de Coxeter hiperbólico