En la geometría hiperbólica tridimensional , un poliedro ideal es un poliedro convexo cuyos vértices son puntos ideales , puntos "en el infinito" en lugar del interior del espacio hiperbólico tridimensional . Puede definirse como el casco convexo de un conjunto finito de puntos ideales. Un poliedro ideal tiene polígonos ideales como caras , que se encuentran a lo largo de las líneas del espacio hiperbólico.
Los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes tienen versiones ideales, con la misma estructura combinatoria que sus versiones euclidianas más familiares. Varios panales hiperbólicos uniformes dividen el espacio hiperbólico en células de estas formas, al igual que la división familiar del espacio euclidiano en cubos. Sin embargo, no todos los poliedros se pueden representar como poliedros ideales; un poliedro puede ser ideal solo cuando se puede representar en geometría euclidiana con todos sus vértices en una esfera circunscrita . Usando programación lineal , es posible probar si un poliedro dado tiene una versión ideal, en tiempo polinomial .
Cada dos poliedros ideales con el mismo número de vértices tienen la misma área de superficie, y es posible calcular el volumen de un poliedro ideal usando la función de Lobachevsky . La superficie de un poliedro ideal forma una variedad hiperbólica , topológicamente equivalente a una esfera perforada, y cada una de esas variedades forma la superficie de un poliedro ideal único.
Ejemplos y contraejemplos
Un poliedro ideal puede construirse como el casco convexo de un conjunto finito de puntos ideales del espacio hiperbólico, siempre que no todos los puntos se encuentren en un solo plano. La forma resultante es la intersección de todos los semiespacios cerrados que tienen los puntos ideales dados como puntos límite. Alternativamente, cualquier poliedro convexo euclidiano que tenga una esfera circunscrita se puede reinterpretar como un poliedro ideal interpretando el interior de la esfera como un modelo de Klein para el espacio hiperbólico. [1] En el modelo de Klein, cada poliedro euclidiano encerrado por la esfera representa un poliedro hiperbólico, y cada poliedro euclidiano con sus vértices en la esfera representa un poliedro hiperbólico ideal. [2]
Cada poliedro isogonal convexo (uno con simetrías que llevan cada vértice a cada otro vértice) se puede representar como un poliedro ideal, de una manera que respete sus simetrías, porque tiene una esfera circunscrita centrada en el centro de simetría del poliedro. [3] En particular, esto implica que los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes tienen formas ideales. Sin embargo, otra clase de poliedros altamente simétricos, los sólidos catalanes , no todos tienen formas ideales. Los sólidos catalanes son los poliedros duales de los sólidos de Arquímedes, y tienen simetrías que llevan una cara a otra. Los sólidos catalanes que no pueden ser ideales incluyen el dodecaedro rómbico y el tetraedro triakis . [4]
La eliminación de ciertos triples de vértices del triakis tetraedro separa los vértices restantes en múltiples componentes conectados. Cuando no existe tal separación de tres vértices, se dice que un poliedro está conectado en 4 . Cada poliedro de 4 conexiones tiene una representación como poliedro ideal; por ejemplo, esto es cierto para el hexaedro tetrakis , otro sólido catalán. [5]
Truncar un solo vértice de un cubo produce un poliedro simple (uno con tres aristas por vértice) que no se puede realizar como un poliedro ideal: según el teorema de los seis círculos de Miquel , si siete de los ocho vértices de un cubo son ideales, el octavo vértice es también ideal, por lo que los vértices creados al truncarlo no pueden ser ideales. También existen poliedros con cuatro aristas por vértice que no pueden realizarse como poliedros ideales. [6] Si un poliedro simplicial (uno con triángulos de todas las caras) tiene todos los grados de vértice entre cuatro y seis (inclusive), entonces tiene una representación ideal, pero el tetraedro triakis es simplicial y no ideal, y el 4-regular no El ejemplo ideal anterior muestra que para poliedros no simpliciales, tener todos los grados en este rango no garantiza una realización ideal. [7]
Propiedades
Mediciones
Cada poliedro ideal con vértices tiene una superficie que se puede subdividir en triángulos ideales , [8] cada uno con área. [9] Por lo tanto, el área de la superficie es exactamente.
En un poliedro ideal, todos los ángulos de las caras y todos los ángulos sólidos en los vértices son cero. Sin embargo, los ángulos diedros en los bordes de un poliedro ideal son distintos de cero. En cada vértice, los ángulos suplementarios de los ángulos diedros incidentes a ese vértice suman exactamente. [2] Este hecho se puede utilizar para calcular los ángulos diedros en sí mismos para un poliedro ideal regular o simétrico de aristas (en el que todos estos ángulos son iguales), contando cuántas aristas se encuentran en cada vértice: un tetraedro, cubo o tetraedro regular ideal. dodecaedro, con tres aristas por vértice, tiene ángulos diedros, un octaedro o cuboctaedro regular ideal , con cuatro aristas por vértice, tiene ángulos diedros, y un icosaedro regular ideal, con cinco aristas por vértice, tiene ángulos diedros . [10]
El volumen de un tetraedro ideal puede expresarse en términos de la función de Clausen o la función de Lobachevsky de sus ángulos diedros, y el volumen de un poliedro ideal arbitrario se puede encontrar dividiéndolo en tetraedros y sumando los volúmenes de los tetraedros. [11]
El invariante Dehn de un poliedro normalmente se encuentra combinando las longitudes de los bordes y los ángulos diedros del poliedro, pero en el caso de un poliedro ideal, las longitudes de los bordes son infinitas. Esta dificultad se puede evitar utilizando una horósfera para truncar cada vértice, dejando una longitud finita a lo largo de cada borde. La forma resultante no es en sí misma un poliedro porque las caras truncadas no son planas, pero tiene longitudes de borde finitas, y su invariante Dehn se puede calcular de la manera normal, ignorando los nuevos bordes donde las caras truncadas se encuentran con las caras originales del poliedro. . Debido a la forma en que se define el invariante de Dehn y las restricciones sobre los ángulos diedros que se encuentran en un solo vértice de un poliedro ideal, el resultado de este cálculo no depende de la elección de las horósferas utilizadas para truncar los vértices. [12]
Estructura combinatoria
Como demostró Ernst Steinitz ( 1928 ), el conjunto independiente máximo de cualquier poliedro ideal (el subconjunto más grande posible de vértices no adyacentes) debe tener como máximo la mitad de los vértices del poliedro. Puede tener exactamente la mitad solo cuando los vértices se pueden dividir en dos conjuntos independientes de igual tamaño, de modo que la gráfica del poliedro sea una gráfica bipartita equilibrada , como lo es para un cubo ideal. [13] Más fuertemente, la gráfica de cualquier poliedro ideal es 1-difícil , lo que significa que, para cualquier, quitando vértices del gráfico deja como máximo componentes conectados. [14] Por ejemplo, el dodecaedro rómbico es bipartito, pero tiene un conjunto independiente con más de la mitad de sus vértices, y el triakis tetraedro tiene un conjunto independiente de exactamente la mitad de los vértices, pero no es bipartito, por lo que ninguno de los dos puede realizarse como un poliedro ideal. [13]
Caracterización y reconocimiento
No todos los poliedros convexos son combinatoriamente equivalentes a los poliedros ideales. La caracterización geométrica de los poliedros inscritos fue intentada, sin éxito, por René Descartes en su manuscrito de c.1630 De solidorum elementis . [15] La cuestión de encontrar una caracterización combinatoria de los poliedros ideales, análoga al teorema de Steinitz que caracteriza a los poliedros convexos euclidianos, fue planteada por Jakob Steiner ( 1832 ); Hodgson, Rivin y Smith (1992) proporcionaron una caracterización numérica (en lugar de combinatoria ) . Su caracterización se basa en el hecho de que los ángulos diedros de un poliedro ideal, incidentes a un solo vértice ideal, deben tener ángulos suplementarios que sumen exactamente, mientras que los ángulos suplementarios cruzados por cualquier curva de Jordan en la superficie del poliedro que tiene más de un vértice en ambos lados deben ser mayores. Por ejemplo, para el cubo ideal, los ángulos diedros son y sus suplementos son . Los tres ángulos suplementarios en un solo vértice suman a pero los cuatro ángulos cruzados por una curva a medio camino entre dos caras opuestas suman , y otras curvas cruzan aún más de estos ángulos con sumas aún mayores. Hodgson, Rivin y Smith (1992) muestran que un poliedro convexo es equivalente a un poliedro ideal si y solo si es posible asignar números a sus aristas con las mismas propiedades: todos estos números se encuentran entre y , ellos se suman a en cada vértice, y suman más de en cada ciclo no facial del gráfico dual . Cuando existe tal asignación, existe un poliedro ideal único cuyos ángulos diedros son suplementarios a estos números. Como consecuencia de esta caracterización, la realizabilidad como un poliedro ideal puede expresarse como un programa lineal con exponencialmente muchas restricciones (una para cada ciclo no facial), y probarse en tiempo polinómico utilizando el algoritmo elipsoide . [dieciséis]
Dillencourt y Smith (1995) proporcionaron una caracterización más combinatoria para el caso especial de poliedros simples , poliedros con sólo tres caras y tres aristas que se encuentran en cada vértice (ideal). De acuerdo con su caracterización, un poliedro simple es ideal o inscribible si y solo si se cumple una de dos condiciones: o el gráfico del poliedro es un gráfico bipartito y su gráfico dual está conectado en 4 , o es un gráfico de 1 supertrofia . En esta condición, ser 1-supertuficiente es una variación de la tenacidad del gráfico ; significa que, para cada set de más de un vértice del gráfico, la eliminación de del gráfico deja un número de componentes conectados que es estrictamente menor que . Con base en esta caracterización, encontraron un algoritmo combinatorio de tiempo lineal para probar la realizabilidad de poliedros simples como poliedros ideales. [17]
Panales
Debido a que el tetraedro, el cubo, el octaedro y el dodecaedro regulares ideales tienen ángulos diedros que son fracciones enteras de , todos pueden enlosar el espacio hiperbólico, formando un panal regular . [18] En esto se diferencian de los sólidos regulares euclidianos, entre los cuales solo el cubo puede enlosar el espacio. [18] El tetraedro ideales, cubo, octaedro, dodecaedro y forma, respectivamente, la orden-6 panal tetraédrica , orden-6 panal cúbico , orden-4 de nido de abeja octaédrica , y para-6 panal dodecaedro ; aquí el orden se refiere al número de células que se encuentran en cada borde. Sin embargo, el icosaedro ideal no enlosa el espacio de la misma manera. [18]
La descomposición de Epstein-Penner, una construcción de DBA Epstein y RC Penner ( 1988 ), se puede utilizar para descomponer cualquier 3-variedad hiperbólica cúspide en poliedros ideales, y para representar la variedad como resultado de pegar estos poliedros ideales. [19] Cada variedad que se puede representar de esta manera tiene un número finito de representaciones. [20] La cubierta universal del colector hereda la misma descomposición, que forma un panal de poliedros ideales. Ejemplos de variedades en cúspide, que conducen a panales de esta manera, surgen naturalmente como complementos de nudos de enlaces hiperbólicos , que tienen una cúspide para cada componente del enlace. Por ejemplo, el complemento del nudo en forma de ocho se asocia de esta manera con el panal tetraédrico de orden 6, [21] y el complemento de los anillos borromeos se asocia de la misma manera con el panal octaédrico de orden 4. [22] Estos dos panales, y otros tres que utilizan el cuboctaedro ideal , el prisma triangular y el tetraedro truncado , surgen en el estudio de los grupos Bianchi y provienen de variedades cúspides formadas como cocientes del espacio hiperbólico por subgrupos de grupos Bianchi. Las mismas variedades también se pueden interpretar como complementos de enlaces. [23]
Colector de superficie
La superficie de un poliedro ideal (sin incluir sus vértices) forma una variedad , topológicamente equivalente a una esfera perforada, con una geometría hiperbólica bidimensional uniforme; los pliegues de la superficie en su incrustación en el espacio hiperbólico no son detectables como pliegues en la geometría intrínseca de la superficie. Debido a que esta superficie se puede dividir en triángulos ideales , su área total es finita. A la inversa, y de manera análoga al teorema de la unicidad de Alexandrov , cada variedad bidimensional con geometría hiperbólica uniforme y área finita, combinatoriamente equivalente a una esfera finitamente perforada, puede realizarse como la superficie de un poliedro ideal. (Al igual que con el teorema de Alexandrov, se debe permitir que tales superficies incluyan dihedra ideal .) [24] Desde este punto de vista, la teoría de poliedros ideales tiene estrechas conexiones con aproximaciones discretas a mapas conformes . [25]
Las superficies de poliedros ideales también pueden considerarse de manera más abstracta como espacios topológicos formados al pegar triángulos ideales mediante isometría a lo largo de sus bordes. Para cada superficie de este tipo, y cada curva cerrada que no se limite a envolver un solo vértice del poliedro (una o más veces) sin separar ninguna otra, hay una geodésica única en la superficie que es homotópica a la curva dada. En este sentido, los poliedros ideales son diferentes de los poliedros euclidianos (y de sus modelos Euclidianos de Klein): por ejemplo, en un cubo euclidiano, cualquier geodésica puede cruzar como máximo dos aristas incidentes a un solo vértice consecutivamente, antes de cruzar una arista no incidente. , pero las geodésicas en el cubo ideal no están limitadas de esta manera. [26]
Ver también
- Poliedro canónico , un poliedro en el que cada borde es tangente a una esfera común
Notas
- ↑ Thurston (1997) , Example 3.3.7 (el complemento de nudos en forma de ocho), p. 128 .
- ↑ a b Hodgson, Rivin y Smith (1992) .
- ^ Leopold (2014) , p. 3.
- ^ Padrol y Ziegler (2016) ; ver § Estructura combinatoria .
- ^ Dillencourt y Smith (1996) .
- ^ Dillencourt y Eppstein (2003) .
- ^ Dillencourt y Smith (1996) ; Padrol y Ziegler (2016) citan este resultado, pero omiten incorrectamente el calificativo que solo se aplica a los poliedros simpliciales.
- ^ Ver, por ejemplo, p. 272 de Fejes Tóth (1981) .
- ^ Thurston (1997) , Proposición 2.4.12, p. 83 .
- ^ Coxeter (1956) .
- ^ Cho y Kim (1999) .
- ^ Dupont y Sah (1982) ; Coulson y col. (2000) . Dupont y Sah atribuyen esta construcción a William Thurston .
- ↑ a b Steinitz (1928) ; Padrol y Ziegler (2016) .
- ^ Dillencourt (1990) ; Padrol y Ziegler (2016) .
- ^ Federico (1982) , p. 52.
- ^ Hodgson, Rivin y Smith (1992) ; Rivin (1996) ; Guéritaud (2004) .
- ^ Dillencourt y Smith (1995) .
- ↑ a b c Coxeter (1956) ; Epstein y Penner (1988) ; Nelson y Segerman (2017) .
- ^ Epstein y Penner (1988) .
- ^ Akiyoshi (2001) .
- ^ Hatcher (1983) ; Epstein y Penner (1988) .
- ^ Hatcher (1983) ; Abbott (1997) .
- ^ Hatcher (1983) .
- ^ Rivin (1994) ; Springborn (2020) .
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