En cálculo , el intercambio del orden de integración es una metodología que transforma integrales iteradas (o integrales múltiples mediante el uso del teorema de Fubini ) de funciones en otras integrales, con suerte más simples, cambiando el orden en el que se realizan las integraciones. En algunos casos, el orden de integración puede intercambiarse válidamente; en otros, no puede.
Planteamiento del problema
El problema a examinar es la evaluación de una integral de la forma
donde D es un área bidimensional en el plano xy . Para algunas funciones f integración directa es factible, pero donde eso no es verdad, la integral a veces puede ser reducido a forma más simple cambiando el orden de la integración. La dificultad con este intercambio es determinar el cambio en la descripción del dominio D .
El método también es aplicable a otras integrales múltiples . [1] [2]
A veces, aunque una evaluación completa es difícil, o tal vez requiere una integración numérica, una integral doble se puede reducir a una sola integración, como se ilustra a continuación. La reducción a una sola integración hace que la evaluación numérica sea mucho más fácil y eficiente.
Relación con la integración por partes
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/67/Integration_Order.svg/300px-Integration_Order.svg.png)
Considere la integral iterada
que escribiremos usando la notación de prefijo que se ve comúnmente en física:
En esta expresión, la segunda integral se calcula primero con respecto ay y x se mantiene constante: una franja de ancho dx se integra primero en la dirección y (una franja de ancho dx en la dirección x se integra con respecto a y variable en la dirección y ), sumando una cantidad infinita de rectángulos de ancho dy a lo largo del eje y . Esto forma una rebanada tridimensional dx ancho a lo largo de la x eje x, de y = un a y = x a lo largo del y eje x, y en el z dirección z = f ( x , y ). Observe que si el grosor dx es infinitesimal, x varía solo infinitesimalmente en el corte. Podemos suponer que x es constante. [3] Esta integración es como se muestra en el panel izquierdo de la Figura 1, pero es inconveniente especialmente cuando la función h ( y ) no se integra fácilmente. La integral se puede reducir a una sola integración invirtiendo el orden de integración como se muestra en el panel derecho de la figura. Para lograr este intercambio de variables, primero se integra la franja de ancho dy desde la línea x = y hasta el límite x = z , y luego el resultado se integra desde y = a hasta y = z , dando como resultado:
Este resultado puede verse como un ejemplo de la fórmula para la integración por partes , como se indica a continuación: [4]
Sustituir:
Lo que da el resultado.
Integrales de valor principal
Para su aplicación a integrales de valor principal , consulte Whittaker y Watson, [5] Gakhov, [6] Lu, [7] o Zwillinger. [8] Véase también la discusión de la transformación Poincaré-Bertrand en Obolashvili. [9] Kanwal da un ejemplo en el que el orden de integración no puede intercambiarse: [10]
tiempo:
La segunda forma se evalúa usando una expansión de fracción parcial y una evaluación usando la fórmula de Sokhotski-Plemelj : [11]
La notación indica un valor principal de Cauchy . Ver Kanwal. [10]
Teoremas básicos
Una discusión sobre la base para invertir el orden de integración se encuentra en el libro Análisis de Fourier de TW Körner. [12] Introduce su discusión con un ejemplo en el que el intercambio de integración conduce a dos respuestas diferentes porque no se satisfacen las condiciones del Teorema II a continuación. Aquí está el ejemplo:
Dos teoremas básicos que gobiernan la admisibilidad del intercambio se citan a continuación de Chaudhry y Zubair: [13]
Teorema I - Sea f ( x , y ) una función continua de signo constante definida para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, y sean las integrales
Teorema II - Sea f ( x , y ) continua para a ≤ x <∞, c ≤ y <∞, y sean las integrales
El teorema más importante para las aplicaciones se cita de Protter y Morrey: [14]
Teorema : suponga que F es una región dada por donde p y q son continuas y p ( x ) ≤ q ( x ) para un ≤ x ≤ b . Supóngase que f ( x , y ) es continua en F . Luego
En otras palabras, ambas integrales iteradas, cuando se pueden calcular, son iguales a la integral doble y, por lo tanto, son iguales entre sí.
Ver también
Referencias y notas
- ^ Seán Dineen (2001). Cálculo y geometría multivariante . Saltador. pag. 162. ISBN 1-85233-472-X.
- ^ Richard Courant y Fritz John (2000). Introducción al cálculo y análisis: vol. II / 1, II / 2. Clásicos de las matemáticas . Saltador. pag. 897. ISBN 3-540-66569-2.
- ^ "Integrales dobles" . Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Oregon. 1996.
- ^ El primo " ′ " denota una derivada en la notación de Lagrange .
- ^ Edmund Taylor Whittaker ; George Neville Watson (1927). Un curso de análisis moderno : una introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas, con una explicación de las principales funciones trascendentales (4ª ed., Repr ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. §4.51, pág. 75. ISBN 0-521-58807-3.
- ^ FD Gakhov (1990). Problemas de valores de frontera . Publicaciones de Courier Dover. pag. 46. ISBN 0-486-66275-6.
- ^ Jian-Ke Lu (1993). Problemas de valor límite para funciones analíticas . Singapur: World Scientific. pag. 44. ISBN 981-02-1020-5.
- ^ Daniel Zwillinger (1992). Manual de integración . AK Peters Ltd. pág. 61. ISBN 0-86720-293-9.
- ^ Elena Irodionovna Obolashvili (2003). Ecuaciones diferenciales parciales de orden superior en el análisis de Clifford: soluciones efectivas a problemas . Birkhäuser. pag. 101. ISBN 0-8176-4286-2.
- ^ a b Ram P. Kanwal (1996). Ecuaciones integrales lineales: teoría y técnica (2ª ed.). Boston: Birkhäuser. pag. 194. ISBN 0-8176-3940-3.
- ^ Para una discusión de la fórmula de Sokhotski-Plemelj, ver, por ejemplo, Joseph A. Cima, Alec L. Matheson y William T. Ross (2006). La Transformada de Cauchy . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 56. ISBN 0-8218-3871-7. o Rainer Kress (1999). Ecuaciones integrales lineales (2ª ed.). Saltador. pag. Teorema 7.6, pág. 101. ISBN 0-387-98700-2.
- ^ Thomas William Körner (1988). Análisis de Fourier . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. Capítulos 47 y 48. ISBN 0-521-38991-7.
- ^ M. Aslam Chaudhry y Syed M. Zubair (2001). En una clase de funciones gamma incompletas con aplicaciones . Prensa CRC. pag. Apéndice C. ISBN 1-58488-143-7.
- ^ Murray H. Protter y Charles B. Morrey, Jr. (1985). Cálculo intermedio . Saltador. pag. 307. ISBN 0-387-96058-9.
enlaces externos
- Notas de matemáticas en línea de Paul: Cálculo III
- Buenas imágenes en 3D que muestran el cálculo de "integrales dobles" utilizando integrales iteradas , el Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Oregon.
- Problemas de cálculo de UCLA de Ron Miech Ejemplos más complejos de cambio del orden de integración (véanse los problemas 33, 35, 37, 39, 41 y 43)
- Sitio web de la Universidad de Minnesota de Duane Nykamp